4 Анализ динамических рядов

Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, т.е. их динамика. Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (или временных рядов).

Ряд динамики представляет собой ряд расположения в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующим изменение общественных явлений во времени.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: время t и конкретное значение показателя (уровень ряда) у.

Уровни ряда - это показатели, числовые значения которых составляют динамический ряд. Время - это моменты или периоды, к которым относятся уровни.

Построение и анализ рядов динамики позволят выявить и измерить закономерности развития показателей продуктивности, валового надоя и поголовья молочного стада во времени. Эти закономерности не проявляются четко на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции, в достаточно длительной динамике. На основную закономерность динамики накладываются другие, прежде всего случайные, иногда сезонные влияния. Выявление основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, является одной из главных задач анализа рядов динамики.

Для изучения рядов динамики выберем хозяйство ЗАО «Арефьевское». Имеются данные о продуктивности, валовом надое и поголовье молочного стада за 9 лет за период с 1998 по 2006 г., которые представляют собой интервальные ряды динамики. Интервальным рядом динамики называется такой ряд, уровни которого характеризуют размер явления за конкретный период времени.

Рассчитаем и проанализируем показатель ряда динамики в ЗАО «Арефьевское» Канской зоны.

Таблица 4.2 - Расчет показателей динамики поголовья молочного стада В ЗАО «Арефьевское» в 1998-2006 гг.

Годы		1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Поголовье, гол		816	764	764	641	684	688	643	738	940
Абсолютный прирост	базисный	-	-52	-52	-175	-132	-128	-173	-78	124
	цепной	-	52	0	-123	43	4	-45	95	202
Коэффициент роста	базисный	-	0,94	0,934	0,79	0,84	0,84	0,79	0,9	1,15
	цепной	-	0,94	од	0,84	1,07	1,01	0,93	1,15	1,27
Темп роста	базисный	_	93,62	93,62	78,55	83,82	84,31	78,79	90,44	115,19
	цепной	-	93,62	100	83,9	106,71	100,58	93,46	114,77	127,3
Темп прироста	базисный	-	-6,38	-6,38	-21,45	-16,18	-15,69	-21,21	-9,56	15,19
	цепной	-	-6,38	0	-16,1	6,71	0,58	-6,54	14,77	27,3
Значение 1% прироста	цепной	-	8,16	7,64	7,64	6,41	6,84	6,88	6,43	7,38

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному, т.е. общему приросту за весь промежуток времени ЕДу^Ау⁶. По данным таблицы 4.2 сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному приросту за весь период:

£Ду^ц=52-123+43+4-45—69

Для оценки интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой-либо период времени исчисляют темпы роста (снижения). Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчетного уровня к базисному.

Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выраженный в долях единицы, называется коэффициентом роста, а в процентах - темпом роста. Эти показатели интенсивности изменения отличаются только единицами измерения.

Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы).

Коэффициент роста (цепной): Коэффициент роста (базисный):

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ 5

Pi — ai~~r> Pi — а2~~~; ■■■; Рп — ап ■ 35

1>2 =2> Уу 47

1Ч=1*° = 1,03 70

К_пр=К_р-1 (4.10)

Цепные и базисные темпы прироста (сокращения) численности молочного стада в ЗАО «Арефьевское» исчислены в таблице 4.2. В хозяйстве наблюдается снижение и увеличение снижение поголовья. Базисный темп прироста свидетельствует, что увеличение численности животных произошло в 2006 г. по сравнению с 1998 - на 15,2%.

При анализе динамики развития следует также знать, какие абсолютные значения скрываются за темпами роста и прироста. Поэтому их рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат выражают показателем, который называется абсолютным значением одного процента прироста и рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени, %:

= ^ (4.11)

К 100 ^v

Абсолютное значение 1% прироста численности животных исчислены в таблице 4.2. Данные показывают, что абсолютное значение 1% прироста (базисное). В то же время цепной показатель свидетельствует о скачкообразном изменении показателя. В 1999 году наблюдается наибольшее значение 1% прироста, в последующие годы этот показатель постепенно снижался и достиг в 2006 году 7,38.

Для обобщающей характеристики динами поголовья стада в ЗАО «Арефьевское» определим средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

Средний уровень ряда характеризует обобщенную величину абсолютных уровней. Для интервальных рядов динамики из абсолютных уровней средний уровень за период времени определяется по формуле средней арифметической. Так как интервалы динамического ряда равные применяем среднюю арифметическую простую:

У V

— (4-12)

п

7366 9

Рассчитаем средний уровень динамического ряда поголовья:

Л, = — = 818

Таким образом, мы получили обобщенную величину абсолютных уровней. Следует отметить, что каждое индивидуальное значение численности на много отличается от среднего уровня.

Обобщающий показатель скорости изменения уровней во времени - средний абсолютный прирост (убыль), представляющий собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет можно рассчитать средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

Уд/

(4.13)

/7-1

Средняя абсолютный прирост в ЗАО «Арефьевское» будет равна:

д/= =28,58

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста (снижения), показывающий, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики. Средний темп роста можно найти по формуле: Т_р~ К_рх 100. В свою очередь средний коэффициент роста необходимо

рассчитывать как среднюю геометрическую из цепных коэффициентов роста К;, поскольку общий объем явления равен не сумме, а произведению коэффициентов:

к; = = (4.14)

Среднегодовой темп изменения поголовья стада с 1998 по 2006 гг.:

к; = фл 159 * 0,874 Т_р- 0,874x100 - 87,4

Следовательно, поголовье коров в хозяйстве снижалось в среднем на 12,6% в год, т.е. (0,874x100-100).

Средние темпы прироста (сокращение) рассчитываются на основе средних темпов роста, вычитанием из последних 100%:

Т_пр=Т_р~Ш (4.15)

где Т_пр -средний темп прироста.

f =87,4-100=-12,6

Так как темп прироста отрицательный, значит, получили средний темп сокращения, который характеризует средний ежегодный процент снижения поголовья стада.

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. Для выявления закономерного, систематического изменения уровня рядов динамики, свободного от случайных колебаний и отражающего тенденцию их развития, применяют ряд приемов: укрупнение периодов, расчет скользящих средних, выравнивание рядов разными приемами.

Для выявления тенденции развития индивидуальные значения ряда поголовья стада необходимо заменить уровнем, свободным от случайных колебаний и отражающим систематическое изменение явления с течением времени. Для этого воспользуемся методом скользящей средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из трех первых по счету уровней ряда, затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Определим вначале суммы поголовья коров по скользящим трехлетиям: 1-3-й годы - 816+764+764=2344; 2-4-й годы - 641+684+688=2013 и т.д. Далее делением полученных сумм Ху на число лет п=3 определяем средние

У У

скользящие как простые арифметические: у =(4.16). Расчетные результаты

п

занесены в таблицу 4.3.

Для наглядности построим график изменения поголовья во времени (рисунок 4.1). На графике изображены фактический динамический ряд и динамический ряд, выровненный методом 3-х летней скользящей.

Сопоставление полученных результатов позволяет сделать вывод о четко выраженной тенденции снижения поголовья коров за исключение нескольких лет, когда наблюдается повышение поголовья коров.

Таблица 4.3 - Вспомогательная таблица для выравнивания динамического ряда поголовья молочного стада в ЗАО «Арефьевское»

Годы	Поголовье	Средняя	Порядковый
	молочного	трехлетняя	номер	t2	yt	9t
	стада, гол	скользящая	периода t
1998	816	-	-4	16	-3264	727,12
1999	764	781,33	-3	9	-2292	730,84
2000	764	723	-2	4	-1528	734,56
2001	641	696,33	-1	1	-641	738,28
2002	684	671	0	0	0	742
2003	688	671,67	1	1	688	745,72
2004	643	689,67	2	4	1286	749,44
2005	738	773,67	3	9	2214	753,16
2006	940	-	4	16	3760	756,88
п=9	Еу= 6678	-	£t=0	£t"=60	£yt=223	I.vf=6678

Целесообразно провести выравнивание линейной функцией, так как динамический ряд, выравненный методом 3-х летней скользящей наиболее близок к прямой.

Аналитическое выравнивание прямой имеет вид: у = a₀+ait. (4.17)

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

(4.18)

где у, - выравненные (расчетные) уровни; у[- фактические уровни.

Параметры ао, а] согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования системы из двух нормальных уравнений:

а_пп+ V Г = У у

' (4.19)

где у - фактические (эмпирические) уровни ряда; t - время (порядковый номер периода или момента времени). Так как время - понятие относительное и зависит от точки отсчета, можно назначить такую точку отсчета, что сумма

= 0) (таблица 4.3). Так как = система нормальных уравнений примет

вид:

а„п =

а

1>²=2>Уу

Из первого уравнения получим (4.20)

п

Yyt

Из второго уравнении а^^-^ (4.21)

U

В таблице 4.3 представлены данные вспомогательных расчетов для нахождения параметров: п=9, ^у-661%, ^yt=223, =60. Отсюда:

6678 _ 223 „ „„

= 742 а,=—=3,72

9 60

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид: j>, = 742 + 3,72/. Теоретическое значение уровней

динамического ряда представлены в таблице 4.3. Равенство = соблюдается, следовательно значения уровней выравненного ряда найдены верно ⁼ Хй⁼6678. Динамический ряд, выравненный линейной функцией

изображен графически на рис. 4.1. Рисунок показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы поголовье в среднем увеличивалось на ai=3,72-4 головы в год. Выявление и характеристика трендов и моделей взаимосвязи создают базу для прогнозирования, т.е. для определения ориентировочных размеров явления в будущем. Для этого используют метод экстраполяции. Под экстраполяцией понимают продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Поскольку в действительности тенденция развития не остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки. Экстраполируем ряд динамики поголовья стада выравниванием по линейной функции. На основе уравненияj>, =742 + 3,72/ экстраполяцией приt=5

определим ожидаемое поголовье в 2007 году:

Рисунок 4.1.

у_г= 742 + 3,72 * 5 - 764,32 - 760 головы 1000

—Ф — фактический динамический ряд

К выравненный динамический ряд