ФЭФ заочн. ТеорВер и МатСтат / Краткий конспект лекций по ТВ и МС

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Псковский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

P(H 2 )P( A / H 2 )

(апостериорные вероятности).

∑ P(H i )P( A / H i )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.04.2015

Размер:

442.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

n	Р( А/ H i	)
Р( А) = ∑ P(H i )P( A / H i ) Р(Нi/A) = P(H i )			=
	P( A)
i=1

P(H i )P( A / H i )

∑ P(H i )P( A / H i )

i=1

Это следствие из теоремы умножения и формулы полной вероятности называется формулой Байеса или теоремой гипотез.

Вероятности гипотез Р(Нi), входящие в формулу полной вероятности, называют априорными, т.е. «до опытными». Пусть опыт произведен и его результат известен, т.е. мы знаем, произошло или не произошло событие А. Получившийся результат мог произойти при осуществлении какой-то одной гипотезы Нi. Дополнительная информация об исходе опыта перераспределяет вероятности гипотез. Эти перераспределенные вероятности гипотез Р(Нi/A) называют апостериорными , т.е. «после опытными».

Пример В одной из корзин 1 камешек и 4 кусочка хлеба, во второй – 4 камешка и 1 кусочек хлеба. Мышка наугад выбирает корзину, бежит к ней и вытаскивает кусочек хлеба - событие А (предполагается, что он затем вновь возвращается в корзину). Какова вероятность события А? Каковы вероятности того, что второй раз мышка побежит к первой корзине, ко второй корзине? Какова вероятность того, что она второй раз вытащит кусочек хлеба?

Рассмотрим гипотезы Н1 – мышка бежит к первой корзине,

Н2 – мышка бежит ко второй корзине.

Р(Н1) =1/2 = Р(Н2) (априорные вероятности)

Р( А/ H1 ) = 4 / 5 P( A / H 2 ) = 1/ 5 . P(A) = 4 / 5 1/ 2 + 1/ 5 1/ 2 = 1/ 2

Р(Н1/A) =	P(H1 )P( A / H1 )
Р(Н1/A) =	2
	∑ P(H i )P( A / H i )
	i=1

= 1/ 2 4 / 5 =

4 / 5

1/ 2

i=1

При втором подходе P(A) = 4 / 5 4 / 5 + 1/ 5 1/ 5 = 16 / 25 > 1/ 2

Мышка обучилась, второй раз она выберет первую корзину с большей вероятностью и добьется большего успеха.

Заметим, что это – один из основных принципов обучения кибернетических систем.

Лекция 3. Случайные величины

Случайная величина – это величина (число), которая в результате опыта может принимать то или иное значение.

Более строго, случайная величина – это числовая функция случайного события.

X = X (ω ), ω Ω Β

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Здесь Β - алгебра событий. Например, число очков на грани брошенной кости, число бросков монеты до появления герба – дискретные случайные величины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее значения заполняют некоторый интервал, возможно, бесконечный. Здесь Β - сигма - алгебра событий. Например, расстояние от центра мишени при стрельбе, время до отказа прибора, ошибка измерения – непрерывные случайные величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую значения x1 ,...xn . Имеем полную группу (иначе, не все значения учтены) несовместных событий X = x1 ,...,X = xn .

Вероятности этих событий равны соответственно p1 ,... pn (p1 + ... + pn = 1). Будем говорить,

что дискретная случайная величина X принимает значения x1 ,...xn с вероятностями p1 ,... pn .

Законом распределения дискретной случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее зависимость между ее значениями x1 ,...xn и вероятностями p1 ,... pn , с которыми эти значения достигаются.

Основные формы закона распределения дискретной случайной величины: ряд

распределения – таблица
		xi	x1		…..	xn

		pi	p1		…..	pn

многоугольник распределения
	p3
	p2
	p1, pn
		x1	x2	x3 …x		n
Можно задать закон распределения в виде аналитической зависимости, связывающей
значения x1 ,...xn и вероятности	p1 ,... pn .
Рассмотрим непрерывную случайную величину. Для непрерывной случайной величины
P(X = x) = 0 , поэтому рассматривают события X < x и вероятности этих событий.
Функцией распределения непрерывной случайной величины F (x) называется
вероятность события X < x .	F (x)= P(X < x).

Свойства функции распределения.

1)0 ≤ F (x) ≤ 1 по аксиомам вероятности,

2)F (x1 ) ≤ F (x2 ) , если x1 ≤ x2 , т.е. функция распределения – неубывающая

функция.

самом

деле,

X < x1 X < x2 ,

следовательно,

F (x1 ) = P(X < x1 ) ≤ P(X < x2 ) = F (x2 ).

3)	lim x→−∞ F (x) = 0,	lim x→+∞ F (x) = 1 В		самом	деле,	событие	X < −∞	-
	невозможное, и его вероятность нулевая. Событие				X < +∞ - достоверное, и его
	вероятность равна 1.
4)	P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a).		Так как	события	A = (X < a)и B = (a ≤ X ≤ b)
	несовместны и	событие	C = (X < b)	есть	сумма	этих	событий,	то

F (b) = P(X < b) = P(C ) = P(A) + P(B) = F (a) + P(a ≤ X ≤ b) .

График функции распределения имеет, примерно, следующий вид

F(x)

Функцию распределения можно определить и для дискретной случайной величины. Ее график будет графиком ступенчатой функции со скачками в pi в точках xi , непрерывной слева в этих точках.

F(x)

	1
		p2	p3
	p1	p2
	p1			x
				x
	x1	x2	x3	xn
Для непрерывной случайной величины вводится плотность распределения
вероятностей.
Плотностью распределения			(вероятностей) называется производная функции
распределения	′
распределения	p(x) = F (x).
	x			b
Ясно, что	F (x) = ∫ p(x)dx, т.к. F (- ¥) = 0,			P(a < X < b) = F (b)- F (a) = ∫ p(x)dx .
	−∞			a

Часто функцию распределения называют интегральным законом распределения, а

плотность распределения – дифференциальным законом распределения. Так как

	x+ x
P(x < X < x + Dx) =		∫ p(x)dx » p(x)Dx , то p(x)dx называется элементом вероятности.
		x
Свойства плотности распределения.
1) p(x) ³ 0 , так как функция распределения –					неубывающая функция,
	+∞
2)	∫ p(x)dx = 1 (условие нормировки) , так как F (+ ¥) = 1.
	−∞
Числовые характеристики случайных величин.
Начальный момент s-го порядка
			n
Для дискретных случайных величин α s = ∑ xis pi .
			i=1
				+∞
Для непрерывных случайных величин α s = ∫ x s p(x)dx .
				−∞
Математическим ожиданием случайной величины называется ее первый начальный
момент mx = M(x) = α1 (x) .
Для дискретных случайных величин mx				= x1 p1 + ... + xn pn . Если на		числовой оси
расположить точки		x1 ,...xn с массами	p1 ,... pn ,	то	mx - абсцисса центра тяжести системы
					+∞
точек.	Аналогично,	для непрерывных	случайных		величин mx = ∫ xp(x)dx	имеет смысл

−∞

центра тяжести кривой распределения.

Свойства математического ожидания.

1) M (C ) = C.

Для дискретных случайных величин x = C, p = 1, M (C ) = x p =С.

+∞	+∞
Для непрерывных случайных величин M (X ) = ∫Cp(x)dx = C ∫ p(x)dx = C по условию
−∞	−∞

нормировки для плотности вероятностей.

2)M(CX) = С M(X). В самом деле, константу можно вынести из суммы в дискретном случае и из под интеграла в непрерывном случае.

3)M(X+Y) = M(X) + M(Y). (без доказательства).

4) M(|X|) = |M(X)| (без доказательства).

Математическое ожидание функции случайной величины вычисляют по формулам

M ( f (X )) = ∑ f (xi )pi для дискретной случайной величины,

i=1

+∞

M ( f (X )) = ∫ f (x)p(x)dx для непрерывной случайной величины.

−∞

	0
Центрированной случайной величиной называется x = x - mx
Центральный момент s-го порядка
n	0
Для дискретной случайной величины μs = ∑(x)is pi .
i=1
+∞	0

Для непрерывной случайной величины μs = ∫ (x) s p(x)dx . μs =

−∞

= x - M (X ).

M ((x) s )

Дисперсией	называется		второй центральный	момент случайной	величины.
0
Dx = D( X ) = M ((x)2 ) = M ((x		- mx )2 )
По	свойствам		математического	ожидания	получим
Dx = M ( X 2 ) - 2(mx ) 2 + (mx )2		= M ( X 2 ) - (mx )2 . Эта формула часто применяется. Дисперсия
– это характеристика рассеяния,			она характеризует концентрацию кривой распределения

(графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки xi с массами pi, то дисперсия – это момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести mx.

Для дискретных случайных величин Dx = ∑(xi - mx )2 pi .

i=1

+∞

Для непрерывных случайных величин Dx = ∫ (x - mx ) 2 p(x)dx .

−∞

Свойства дисперсии.

1)Dx ³ 0 (под интегралом стоит квадрат функции).

2)DC = 0 ( mC = C) .

3)DCx = C 2 Dx (выведите сами, вынося C 2 из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонением называется σ (x) = Dx .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент

асимметрии sk	=		μ3	, эксцесс –	мера островершинности распределения Ex =	μ4	- 3 ,
асимметрии sk	=	σ 3		, эксцесс –	мера островершинности распределения Ex =	σ 4	- 3 ,
		σ 3				σ 4
					0

среднее арифметическое отклонение M (| x |) , мода – наиболее вероятное значение для

дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).

Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X

– количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х

	xi	0	1
	pi	q	p
			0,	− ∞ < x ≤ 0
Функция распределения равна F (x) = q,				0 < x ≤ 1 ,
			1	1 < x < +∞

Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) – (m x)2 = p – p 2 = p(1-p) = pq.

Распределение называется равномерным на отрезке [a,b], если плотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка.

Из условия нормировки для плотности вероятности следует

b	1
1 = ∫ pdx = p(b − a) . Отсюда следует, что p =	1	- плотность равномерного


a	b − a
a

распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна


	0,	x ≤ a
x		− a
	x
F (x) = ∫ p(x)dx =			a	< x ≤ b . Вычислим математическое ожидание и дисперсию

−∞	b	− a
	1	x > b

величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

= b

dx =

1 x 2

b 2 − a 2

a + b

∫ b − a

b − a 2

a 2(b − a)

(a +b)

b −a (a +b)(b −a ) (a +b) (b −a)

a +b

−(a +b)x +

3 3

2 2

Dx = ∫ x −

p dx = p∫ x

dx = p(

−

) =

+ ab

+ b

+ 2ab + b

−

(4a 2 + 4ab + 4b 2 − 6a 2 − 12ab − 6b2 + 3a 2 + 6ab + 3b 2 ) =

(b − a)2

(b2 − 2ab + a 2 ) =

Лекция 4

Повторяющиеся испытания.

Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д. Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А)

или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).

Рассмотрим ситуацию А.

Пусть число исходов равно двум (N = 2). Схема независимых испытаний с двумя исходами называется схемой Бернулли.

Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов

P(m,n).	P(0, n) = q n ,	так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть
один раз равна P(1, n) = npq n−1 , так как стрелок может попасть при первом, втором,				… n	ом
выстреле. P(2, n) = Cn2 p 2 q n−2 ,так			как два попадания (порядок не важен) должны быть
размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично
P(m, n) = P (m) = C m p m q n−m			- формула Бернулли.
	n	n
Само распределение P (m) = C m p m q n−m называют биномиальным.
		n	n
В самом деле, это – коэффициенты при z m в разложении по степеням z
производящей функции ϕ (z) = (q + pz)n .
Из формулы Бернулли вытекают два следствия:
1)	Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее			m2 раз
	равна P(m1		m2
	равна P(m1	£ m £ m2 ) = ∑Cnm p m q n−m ,
			m=m1
2)	Вероятность хотя бы		одного успеха в n испытаниях равна (m1 = 1, m2		= n)

P(m ³ 1) = ∑Cnm p m q n−m = 1 - Cn0 p 0 q n = 1 - q n .

m=1

Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np, Dx = npq.

Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p1…p N .

Вычислим

вероятность

того,

что

после

испытаний i –

тый

исход

наступит mi раз

(m1 + ... + mN = n)

P(m1

.....mN , n) = Cnm1 Cnm−2m

... Cnm−Nm −m −...−m

p m1 p m2 ...p mN .

1 2

−1

Заметим,

(n - m1 )!

(n - m1 -...- mN −1 )!

что

Cnm1 Cnm−2m ... Cnm−Nm −m −...−m

...

2 N −1

m1!(n - m1 )! m2 !(n - m1 - m2 )! mN !(n - m1 -...mN )!

m1!m2 !...mN !

так как n = m1 +...+ mN .

Поэтому

P(m .....m

, n) =

p m1 p m2 ...p mN .

Это

–

полиномиальное

m1!m2 !...mN !

распределение.

Заметим, что P(m ,...m

,n) - это коэффициенты при z m1 ...z mN в разложении по степеням

z ...z

производящей функции ϕ (z ...z

) = (z

p +...+ z

)n .

1 1

Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера

испытания, так как условия испытаний различны.

P(m1 ,...mN ,n) - это коэффициенты при

z m1 ...z mN в

разложении

по

степеням

z ...z

производящей

функции

ϕ (z1...z N ) = ∏ (z1 p1i +...+ z N pNi ) при N исходах.

i=1

При двух исходах P(m,n) -

это коэффициент при z m

в разложении производящей

функции

ϕ (z)

(qi + pi z), где qi

= ∏

+ pi = 1, i =

1, n

i=1

Примеры.

1)Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза?

	3	1 3	8	2	8			5
а) P(3,5) = C	5			,	б) R(1,5) = 1 − P(0,5) = 1 −		.
						9
		9	9

2)Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза?

P(2,4,4, 10) =	10!	(0,1)2 (0,7)4 (0,2)4

	2! 4! 4!

3)Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?

ϕ (z) = (0,5 + 0,5z)(0,6 + 0,4z)(0,7 + 0,3z) = 0,21 + 0,44z + 0,29z 2 + 0,06z 3 .

Вероятность не попасть ни разу 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.

Распределения, связанные с повторяющимися испытаниями.

Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Обозначим Х – число испытаний до первого успеха, если вероятность успеха в одном испытании р. Если первое испытание успешно, то Х = 0. Следовательно, P(X = 0) = p . Если Х = 1, т.е. первое испытание неудачно, а второе успешно,

то по теореме умножения P(X = 1) = qp . Аналогично, если Х = n , то все испытания до n-ого неудачны и P(X = n) = q n p . Составим ряд распределения случайной величины Х

…

q 2 p

…

q n p

…

Случайная величина с таким рядом распределения имеет геометрическое

распределение.

Проверим условие нормировки p + qp + q 2 p +...+ q n p + ... = p(1 + q + q 2 +...) =

= 1.

− q

Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим схему испытаний, обобщающую задачу о выборке бракованных деталей и похожую на ситуацию А с N исходами. Пусть имеется n элементов, разделенных на группы:

n1 элементов первого типа, n2 – второго типа и т.д., nN – N- ого типа. Какова вероятность, выбрав m элементов, получить среди них m1 элементов из первой группы, m2 – из второй и т.д. mN - из N-ой?

Ее легко вычислить по классическому определению вероятностей с учетом теоремы умножения:

				m1	m2	mN
P(m , m	,...m		,n) =	Cn1	Cn2	...CnN	.
P(m , m	,...m	N	,n) =				.
1 2		N			Cnm
					Cnm

В частности, при N=2 (m2=m-m1, n2=n-n1) (задача о бракованных деталях)

m m−m

P(m1 , n) = Cm1 Cn−m 1

Cnm

Формула Пуассона и распределение Пуассона.

Пусть число испытаний n велико, вероятность p мала и λ = np мало. Тогда вероятность наступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по

формуле Пуассона: P(m, n) ≈ λm e−λ . m!

Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если q мало, приняв λ = nq.

Случайная величина с рядом распределения m, P(m, n) » λm e −λ имеет распределение m!

Пуассона. Чем больше n, тем формула Пуассона точнее. Для грубых расчетов формулу применяют при n =10, λ = 0 – 2, при n = 100 λ = 0 – 3. При инженерных расчетах формулу применяют при n = 20, λ = 0 – 3, n =100, λ = 0 – 7. При точных расчетах формулу применяют при n = 100, λ = 0 – 7, n =1000, λ = 0 – 15.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

M (X ) =

M (X (X

∞	λm		∞		λm−1
∑m e−λ = λe−λ ∑
∑m e−λ = λe−λ ∑					(m -1)!
m=0	m!	m=1			(m -1)!
	∞		m	e−λ = λ2
-1)) = ∑m(m -1) λ				e−λ = λ2
	m=0	m!

=	∞	λk
=	λe−λ ∑	= λe−λ eλ = λ ,
	k =0	k!
∞	λm−2

m∑=2 (m - 2)! e−λ = λ2

M (X (X -1)) = M (X 2 )- M (X ) = λ2 , M (X 2 ) = λ2 + λ,

D(X ) = M (X 2 )- (M (X ))2 = λ2 + λ - λ2 = λ

Лекция 5

Экспоненциальное и нормальное распределения.

Экспоненциальное распределение.

Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если ее

плотность распределения задается формулой

p(x) = 0,	x < 0	, λ > 0 - параметр экспоненциального распределения.
λe−λx , x ³ 0

Для		случайной		величины,		имеющей экспоненциальное распределение,
	1		1	0,		x < 0
M (X ) =		, D(X ) =		, F (x) =		.
	λ		λ2
				1 - e	−λx , x ³ 0

Если времена между последовательными наступлениями некоторого события – независимые, экспоненциально распределенные случайные величины с параметром λ , то число наступлений этого события за время t имеет пуассоновское распределение с параметром λt . Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса).

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределена нормально или по Гауссу), если ее плотность имеет вид

p(x) =		1			−(x−a )2
				e	2σ 2	.

	σ		2π

Вычислим математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины.

+∞

− (x−a )2

+∞

−

y 2

M (X ) =

2σ 2

=(x=σy +a ) =

(σy

+ a)e

dy =

2π −∞∫

+∞

y 2

+∞

y 2

∫ ye−

dy + a

∫ e−

dy = 0 + a

= a .

2π

−∞

Вычислите аналогично D(X ) = σ 2 ,

СКО = σ .

Обозначим

плотность

стандартного

нормального

распределения

(при

M (X ) = a = 0, D(X ) = σ 2 = 1 )

ϕ (x) =

−

e 2

2π

обозначим функцию распределения стандартного нормального распределения

F(x) =

x − x2

dx =

+ F0 (x),

e 2

2π

−∞∫

где F0 (x) =

− x 2

- интеграл Лапласа. Значения F0 (x) можно найти в стандартных

e 2 dx

2π ∫0

таблицах.

Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок [a,b].

P{a < X < b} =

−

( y −m)2

(b−m )/ σ

−

∫

dy ¾¾¾¾®

∫

dx =

2σ 2

2π

x=( y −m )/ σ

2π

(a−m )/ σ

b - m

a - m

= F0

- F

. При вычислении вероятности полезно учитывать нечетность

функции F0 (x):

	1		− x	−	x 2	y	−	y 2
F0 (- x) =			∫ e			dx = y =− x = -∫ e			dy = -F0 (x).
					2			2

	2π
		0				0

Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа.

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m

справедливы локальная формула Муавра –

Лапласа

P(m, n)

≈ ϕ (x),

x =

− np

npq

и интегральная формула Муавра –

Лапласа

m − np

− np

P(m ≤ m ≤ m

) = P

≤

≈ Φ(x

) − Φ(x ) = Φ

) − Φ

(x ),

npq

m1 − np

m2 − np

x1 =

, x2 =

npq

Это означает, что при большом числе испытаний распределение числа успехов становится нормальным.

Иногда приходится оценивать вероятность отклонения частоты события от вероятности. Покажем, как можно использовать для этого интегральную формулу Муавра – Лапласа.

m − np

Заметим, что

− p

npq

m − np

b −

t 2

∫ e

P a <

npq

< b

≈

2π

n . Запишем интегральную формулу Муавра – Лапласа pq

в виде

−

t 2

∫

− p

< b

≈

dt . Поэтому

P a

2π

P a

− p

< b

≈ Φ

− Φ

. Если интервал симметричен, − ε = a, b = ε ,

то по нечетности Φ

(x)

− p

< ε

≈ 2Φ

Примеры.

1)(3.42) Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность вызова за минуту 0,0005. Какова вероятность, что за минуту поступит не менее двух вызовов? Здесь n =

1000,

p =

0,0005, λ =

=0.5.

P ≈ 1 − P(0, 0,5) − P(1, 0,5) = 1 − 0,606 − 0,303 = 0,091 (по

таблице P(m, λ )).

(3.43)

Известно, что 20% автомобилей нарушают скоростной режим. Какова вероятность

того, что из 1000 автомобилей 210 нарушат правила? Здесь надо пользоваться локальной

формулой

Муавра-Лапласа

при

n=1000,

p=0,2,

m=300.

= 12,65,

x =

210− 200

= 0,79,

ϕ(0,79) = 0,292, P ≈

0,292

≈ 0,02

npq

10000,2 0,8

12,65

(3.44)

Монету подбрасывают 10000 раз. Найти вероятность того, что частота выпадения

герба будет отличаться от 0,5 не более, чем на 2%.

Здесь

надо

пользоваться

интегральной формулой Муавра-Лапласа при n=10000, р=1/2,

m1=400, m2=600. Тогда

= 50,

= −2,

x2 = 2, P ≈ Φ 0 (2) − Φ 0 (− 2) = 2 0,47725 = 0,9545.

npq

10000 0,5 0,5

Другие распределения, часто используемые в инженерных расчетах.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ФЭФ заочн. ТеорВер и МатСтат

#
10.04.201535.33 Кб15Вопросы ФЭФ ЗО по теор вер.doc
#
10.04.201570.14 Кб20Задачи к экзамену ФЭФ ЗО 2012-13.doc
#
10.04.2015442.67 Кб54Краткий конспект лекций по ТВ и МС.pdf
#
10.04.2015635.9 Кб25Теория вероятностей для заочников ФЭФ осень2012.doc