4.12.2. Рототабельное композиционное планирование

Критерием оптимальности в рототабельном планировании является условие при одинаковом удалении точек эксперимента от центра, т.е..

Если имеются двухфакторные планы, то , как уже было отмечено, типичными примерами рототабельных планов являются планы, представляемые вершинами и, по крайней мере, одной центральной точкой любого (n-1) - мерного правильного многоугольника, который можно вписать в круг (рис.4.11).

Композиционные центральные рототабельные планы также как и ортогональные состоят из трех сфер: сфера нулевого радиуса - центральные точки; сфера точек куба или гиперкуба и сфера звездных точек. Равномерность расположения точек на сфере приводит к вырожденным матрицам. Для устранения вырожденности используют сферу нулевого радиуса с несколькими центральными точками.

Таблица 4.10

n		N	N0	Nc	N
2	1,414	4	5	4	13
3	1,682	6	6	8	20
4	2	8	7	16	31

где N_ - число звездных точек; N₀ - число точек в центре эксперимента; N_c - количество точек куба (гиперкуба); N - общее число точек факторного пространства.

Матрица планирования рототабельного плана второго порядка для трехфакторного эксперимента будет представлена в таблице 4.11.

Таблица 4.11

Номер	x0	x1	x2	x3	х12	х22	х32	x1x2	x1x3	x2x3
опыта	z0	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1
3	+1	-1	+1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	-1
5	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1
6	+1	+1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	+1	-1
7	+1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	+1
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
9	+1	-1,682	0	0	2,828	0	0	0	0	0
10	+1	+1,682	0	0	2,828	0	0	0	0	0
11	+1	0	-1,682	0	0	2,828	0	0	0	0

Продолжение таблицы 4.11

12	+1	0	+1,682	0	0	2,828	0	0	0	0
13	+1	0	0	-1,682	0	0	2,828	0	0	0
14	+1	0	0	+1,682	0	0	2,828	0	0	0
15	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
16	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
17	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
18	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
19	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
20	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Эксперимент проводится аналогично ПФЭ, однако оценки коэффициентов рассчитываются по своим формулам:

(4.38)

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.424.44)

где - число точек на сфере радиуса;к - число сфер (к=3).

Проводится проверка значимости коэффициентов по t - критерию Стьюдента. Оценки дисперсии и коэффициентов вычисляются по формулам:

(4.45)

(4.46)

(4.47)

Проверка адекватности модели проводится известным методом Фишера.

Рототабельные планы нашли широкое применение на практике. Однако с точки зрения математиков, занимающихся развитием математической статистики, выбор такого критерия представляется мало обоснованным. Он не вытекает логически из тех идей, на которые базируется математика. Например, как выбрать расстояние  до звездных точек; не все пространства независимых переменных, отведенное для эксперимента, используется в композиционных планах и т.д. Невозможно из множества рототабельных планов при одном и том же числе факторов выбрать лучший , т.к. не было критерия оценки. Поэтому этот критерий стали относить к эмпирико-интуитивным критериям.

Наряду с развитием планирования экспериментов, основанных на эмпирико-интуитивным критериях Бокса в США стало развиваться второе чисто теоретическое направление, которое связывают с планом ученого Кифера. Он установил связь между некоторыми критериями оптимальности; теоретически доказал, что для отдельных видов регрессии одни и те же планы могут отвечать сразу нескольким критериям оптимальности.