2.4. Кардиоида

Оп р е д е л е н и е 12. Кардиоида– плоская кривая, уравнение в полярных координатах которой имеет вид: .

Кардиоида описывается точкой М окружности радиусом а, катящейся по окружности с таким же радиусом. Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 8). Случаи расположения кардиоиды в ПСК приведены в табл. 3.

Т а б л и ц а 3

Расположение кардиоиды в ПСК

Уравнение в ПСК	Рисунок в ПСК	Уравнение в ПСК	Рисунок в ПСК

2.5. Лемниската Бернулли

Оп р е д е л е н и е 13. Лемниската Бернулли (от лат.lemniscatus – украшенный лентами) – в ДПСК плоская алгебраическая кривая 4-го порядка (рис. 9).

Произведение расстояний каждой точки М лемнискаты Бернулли до двух данных точеки (фокусов) равно квадрату половины расстояния между и Кривая симметрична относительно осей и начала координат. Впервые была рассмотрена Я. Бернулли (1694).

Случаи расположения лемнискаты в ПСК приведены в табл. 4.

Т а б л и ц а 4

Расположение лемнискаты в ПСК

Уравнение в ДПСК	Уравнение в ПСК	Рисунок в ПСК

2.6. Правило построения кривых в полярной системе координат

Построение кривых в ПСК можно осуществлять по точкам следующим образом.

1. Найти пределы изменения полярного угла, решая неравенство (так как– расстояние, величина всегда неотрицательная). При его решении пользуемся данными табл. 5.

Если функция периодическая, то необходимо выбрать главные значения угловили(удобные для конкретного примера). Если функциянепериодическая, то.

3. Составить таблицу значенийи: будем давать значения полярному углучерез произвольный промежутоки вычислять соответствующее значение, подставляя значенияв функцию.

4. По таблице построить точки с полученными координатами .

5. Соединить полученные точки плавной линией. Получим искомую кривую.

Т а б л и ц а 5

Частные случаи решения основных тригонометрических неравенств

Частный случай	Решение	Частный случай	Решение

3. Задания для самостоятельной работы

3.1. Варианты типового расчета «Полярная система координат»

(задания 1 – 5)

З а д а н и е 1. В ПСК заданы точки (табл. 6): 1) построить точки в ПСК; 2) найти координаты данных точек в ДПСК.

Т а б л и ц а 6

Данные к заданию 1

Вариант	Координаты точек	Вариант	Координаты точек	Вариант	Координаты точек
1	2	3	4	5	6
1		2		3
4		5		6
7		8		9

О к о н ч а н и е т а б л. 6

1	2	3	4	5	6
10		11		12
13		14		15
16		17		18
19		20		21
22		23		24
25		26		27
28		29		30

З а д а н и е 2. Заданы координаты точек в ДПСК (табл. 7): 1) найти полярные координаты; 2) построить точкив ПСК и ДПСК, совместив эти системы координат.

Т а б л и ц а 7

Данные к заданию 2

Вариант	Координаты точек	Вариант	Координаты точек	Вариант	Координаты точек
1		2		3
4		5		6
10		11		12
13		14		15
16		17		18
19		20		21
22		23		24
25		26		27
28		29		30

З а д а н и е 3. Даны уравнения кривых в ДПСК (табл. 8): 1) записать уравнения данных кривых в ПСК; 2) построить кривые в ПСК.

Т а б л и ц а 8

Данные к заданию 3

Вариант	Уравнения кривых	Вариант	Уравнения кривых
1	2	3	4
1	а) ; б) .	2	а) ; б) .
3	а) ; б) .	4	а) ; б) .
5	а) ; б) .	6	а) ; б) .
7	а) ; б) .	8	а) ; б) .
9	а) ; б) .	10	а) ; б) .
11	а) ; б) .	12	а) ; б) .
13	а) ; б) .	14	а) ; б) .
15	а) ; б) .	16	а) ; б) .
17	а) ; б) .	18	а) ; б) .
19	а) ; б) .	20	а) ; б)

О к о н ч а н и е т а б л. 8

1	2	3	4
21	а) ; б) .	22	а) ; б) .
23	а) ; б) .	24	а) ; б) .
25	а) ; б) .	26	а) ; б) .
27	а) ; б) .	28	а) ; б) .
29	а) ; б) .	30	а) ; б) .

З а д а н и е 4. Даны уравнения кривых в ПСК (табл. 9): 1) построить кривую в ПСК; 2) записать уравнение данной кривой в ДПСК.

Т а б л и ц а 9

Данные к заданию 4

Вари-ант	Уравнения кривых	Вари- ант	Уравнения кривых	Вари-ант	Уравнения кривых
1	2	3	4	5	6
1	а) ; б) ; в)	2	а) ; б) ; в)	3	а) ; б) ; в)
4	а) ; б) ; в)	5	а) ; б) ; в)	6	а) ; б) ; в)
7	а) ; б) ; в)	8	а) ; б) ; в)	9	а) ; б) ; в)

О к о н ч а н и е т а б л. 9

1	2	3	4	5	6
10	а) ; б) ; в)	11	а) ; б) ; в)	12	а) ; б) ; в)
13	а) ; б) ; в)	14	а) ; б) ; в)	15	а) ; б) ; в)
16	а) ; б) ; в)	17	а) ; б) ; в)	18	а) ; б) ; в)
19	а) ; б) ; в)	20	а) ; б) ; в)	21	а) ; б) ; в)
22	а) ; б) ; в)	23	а) ; б) ; в)	24	а) ; б) ; в)
25	а) ; б) ; в)	26	а) ; б) ; в)	27	а) ; б) ; в)
28	а) ; б) ; в)	29	а) ; б) ; в)	30	а) ; б) ; в)

З а д а н и е 5. Даны уравнения кривых в ДПСК и ПСК (табл. 10). Построить кривую в ПСК.

Т а б л и ц а 10

Данные к заданию 5

Вариант	Уравнения кривых	Вариант		Уравнения кривых
1	2	3		4
1	а); б)	2		а); б)
3	а); б)	4		а); б)
5	а); б)	6		а); б)
7	а); б)	8		а); б)
9	а); б)	10		а); б)
11	а); б)	12		а); б)
13	а); б)	14		а) ; б)
15	а); б)	16		а); б)
17	а); б)	18		а); б)
19	а); б)		20	а) ; б)

О к о н ч а н и е т а б л. 10

1	2	3	4
21	а); б)	22	а) ; б)
23	а); б)	24	а) ; б)
25	а); б)	26	а) ; б)
27	а); б)	28	а) ; б)
29	а); б)	30	а) ; б)