- •1. Полярная система координат
- •1.1. Прямоугольная система координат на плоскости
- •1.2. Полярные координаты точек на плоскости
- •1.3. Связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами точек на плоскости
- •2. Некоторые линии в полярной системе координат и
- •2.1. Окружность
- •2.2. Спираль Архимеда
- •2.3. Розы
- •2.4. Кардиоида
- •2.5. Лемниската Бернулли
- •2.6. Правило построения кривых в полярной системе координат
- •3. Задания для самостоятельной работы
- •3.1. Варианты типового расчета «Полярная система координат»
- •3.2. Примеры выполнения заданий типового расчета
1.3. Связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами точек на плоскости
Внекоторых случаях удобно работать не с известными декартовыми прямоугольными координатами точек, а с их полярными координатами и наоборот.
Установим связь между ними.
Рассмотрим на плоскости ДПСК Оху и ПСК, у которой полюс совпадает с началом координат – точкой О, а полярная ось совпадает с осью абсциссОх.
Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим (х; у) ее прямоугольные декартовы координаты, а полярные – .
Из соотношений в прямоугольном треугольнике ОРМ (рис. 5) имеем:
(1)
Учитывая, что , из соотношений (1) имеем:
(2)
Так как , заметим, что знакдолжен быть одинаковым со знакому, а знак – со знакомх.
Для вычисления угла можно воспользоваться следующими формулами:
(3)
Формула (1) выражает прямоугольные декартовы координаты точки через полярные (т. е. по известным полярным координатам можно найти декартовы).
Формулы (2) и (3) позволяют определять полярные координаты точки по ее декартовым координатам.
2. Некоторые линии в полярной системе координат и
ИХ ПОСТРОЕНИЕ
О п р е д е л е н и е 8. Линией, определяемой уравнением называется геометрическое место точек, полярные координаты которых удов-летворяют уравнению:
2.1. Окружность
О п р е д е л е н и е 9. Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей на той же плоскости, что и кривая.
Уравнения окружностей в ПСК получены путем применения формул (1) перехода от декартовой системы координат к полярной. Например, составим уравнение окружности в полярных координатах. Применим формулы (1):Случаи расположения окружности в ПСК приведены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1
Расположение окружности в ПСК
Уравнение в ДПСК |
Уравнение в ПСК |
Рисунок в ПСК |
Окружность с цент-ром в начале координат радиусом R |
| |
Окружность со смещенным вдоль оси Ох центром
|
| |
Окружность со смещенным вдоль оси Оу центром
|
|
2.2. Спираль Архимеда
Спираль (от франц. spirale, латинского spira – виток) – плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от нее.
О п р е д е л е н и е 10. Спираль Архимеда – плоская кривая, определяемая в ПСК уравнением
Кривая состоит из двух ветвей, соот-ветствующих положительным и отрицательным значениям(рис. 6).
Кривая названа в честь великого древнегреческого ученого Архимеда (III в. до н. э.). Полному обороту точки соответствует одно и то же смещение называемое шагом архимедовой спирали.
2.3. Розы
О п р е д е л е н и е 11. Розы – плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид: , гдеи– постоянные(рис. 7).
|
Рис. 7
Вся кривая расположена внутри круга радиусом состоит из конгруэнтных лепестков. Если: а) k – целое число, роза состоит из k лепестков (в случае, когда условие (подразд. 1.2, замечание 5) не учитывается, при четном k количество лепестков удваивается); б) k = m/n, n > 1, – рациональное число, роза состоит из m лепестков, когда m и n – нечетные, и из 2m лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий); в) k – иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.
Случаи расположения розы в ПСК приведены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2
Расположение розы в ПСК при k = 3
Уравнение в ПСК | ||
Рисунок в ПСК | ||
Уравнение в ПСК | ||
Рисунок в ПСК |