1_Краткий курс физики (часть 2)
.pdf
Величина напряженности электрического поля, созданного бесконечно длинным заряженным телом (нитью, стержнем и т. п.) с τ = const (рис. 2) на расстоянии r (кратчайшем) от нити (от оси стержня, цилиндра), вычисляется по формуле:
|
|
E = ke |
2 |
|
τ |
|
|
. |
(8) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
ε |
|
r |
|
|
|||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
τ > 0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
τ < 0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
Рис. 2. Напряженность электрического поля, созданного бесконечно длинным линейно протяженным заряженным телом
Величина напряженности электрического поля, созданного бесконечно большой заряженной плоскостью с σ = const, рассчитывается по уравнению:
E = 2πke |
|
|
σ |
|
|
= |
|
σ |
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ε |
|
|
2εε0 |
|||||||
Если электрическое поле создается не одним, а несколькими электрическими зарядами, то для слабых полей справедлив принцип суперпозиции: электрические поля от разных источников накладываются одно на другое, не искажая друг друга, а напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей полей отдельных источников:
E = E1 + E2 +... + En . |
(10) |
Для записи векторного уравнения (10) в скалярной форме выбирают удобную инерциальную систему отсчета (ИСО) и находят проекции всех векторов на координатные оси:
Ex = E1xEy = E1yEz = E1z
+ E2x +... + Enx ; |
|
+ E2 y +... + Eny ; |
(10а) |
+ E2z +... + Enz . |
|
11
Второй основной характеристикой электрического поля является потенциал – энергетическая характеристика поля.
Потенциал электрического поля ϕ в данной точке – физическая величина, равная отношению потенциальной энергии Wр, которой обладает пробный заряд q, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:
ϕ = |
Wp |
. |
(11) |
|
|||
|
q |
|
|
В СИ потенциал ϕ измеряется в вольтах (В).
Потенциал электрического поля, созданного точечным зарядом q на рас-
стоянии r от него, вычисляется по формуле: |
|
|||
ϕ = k |
|
q |
. |
(12) |
|
|
|||
|
e εr |
|
||
Потенциал – алгебраическая величина, которая может быть положительной и отрицательной в зависимости от знака заряда, создающего поле (ϕ > 0 для q > 0;
ϕ < 0 для q < 0).
Разность потенциалов для двух точек электрического поля – скалярная физическая величина, равная отношению работы Ае, совершаемой электрическим полем по перемещению пробного электрического заряда q между этими точками, к величине этого заряда:
ϕ1 − ϕ2 = |
Wp |
−Wp |
2 |
= |
A |
(13) |
1 |
e |
|||||
|
q |
|
q |
|||
|
|
|
|
|
||
(при действии на заряд только электрических сил разность потенциалов часто называют напряжением ϕ1 − ϕ2 = U).
В СИ разность потенциалов (напряжение) измеряется в вольтах (В). Если электрическое поле создается несколькими электрическими заряда-
ми, то в соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля равен алгебраической сумме потенциалов полей отдельных источников
ϕ =ϕ1 +ϕ2 +…+ϕn. |
(14) |
Две основные характеристики электрического поля связаны формулами:
2 |
|
E = −gradϕ; ϕ1 −ϕ2 = ∫E dr. |
(15) |
1 |
|
Электрическое поле можно графически изобразить с помощью линий век-
12
тора E (силовых линий) и эквипотенциальных поверхностей.
Силовые линии электрического поля – это линии, проводимые в электрическом поле так, чтобы касательные к ним в любой точке совпадали с направлением E в этой точке, а количество (густота) линий, проходящих через площадку единичных размеров, расположенную перпендикулярно силовым линиям, равно| E | вместерасположенияплощадки. Силовыелинииэлектростатическогополя начинаютсянаположительныхзарядахизаканчиваютсянаотрицательных(рис. 3).
Эквипотенциальные поверхности – это геометрическое место точек с одинаковым потенциалом (ϕ = const). Силовые линии проходят перпендикулярноэквипотенциальнымповерхностямвсторонууменьшенияпотенциала(рис. 3).
+
+
+
+
+
а
q + 
− q
б
Рис. 3. Графическое представление электростатического поля: силовые линии (сплошные); эквипотенциальные поверхности (пунктирные)
Электростатическое поле характеризуют по направлению и густоте линий E и эквипотенциальных поверхностей. Если E = const, то поле однородное
(рис. 3, а), еслиE ≠ const, то поле неоднородное (рис. 3, б). |
|
|
|||
Количество линий |
E |
(силовых |
dS |
|
|
линий электрического поля), проходя- |
|
E |
|||
|
α |
||||
щих через произвольную |
поверхность |
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|||
S, определяет поток Φе |
вектора |
|
|
|
|
E через эту поверхность: |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
Φe = ∫E dS = ∫EdS cosα , (16)
S S
где dS – бесконечно малый элемент площади поверхности (рис. 4);
α − угол между векторами E и dS менту поверхности dS ).
Рис. 4. Графическое представление
прохождения вектора E
через поверхность S
( dS направлен перпендикулярно эле-
13
Поток Φе вектора E электростатического поля через произвольную замк-
нутую поверхность определяется теоремой |
Гаусса: |
|
|
N |
|
Φe = ∫E dS = 4πke ∑qi , |
(17) |
|
S |
i=1 |
|
N
где ∑qi – алгебраическая сумма электрических зарядов, находящихся внутри
i=1
замкнутой поверхности S.
Теорема Гаусса для электростатического поля отражает тот факт, что источником электрического поля являются электрические заряды.
Циркуляцией вектора E вдоль произвольного замкнутого контура ℓ называют интеграл:
Γe = ∫E d . |
(18) |
Теорема о циркуляции напряженности электростатического поля вдоль произвольного замкнутого контура ℓ утверждает, что электростатическое поле является потенциальным (безвихревым) и его силовые линии не замкнутые:
∫E d = 0. |
(19) |
На любой электрический заряд, оказавшийся в электрическом поле, будет оказываться со стороны поля силовое действие:
Fe = qE . |
(20) |
При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 электрическое поле совершает механическую работу:
Ae = ∫2 |
δ Ae = ∫2 |
F dr . |
(21) |
11
Вслучае однородного электрического поля
Ae = qE r cosα = qU , |
(22) |
где α − угол между вектором E и перемещением |
r заряда q между двумя точ- |
ками поля с разностью потенциалов ϕ1 −ϕ2 =U .
Работа электростатических сил по замкнутому контуру согласно теореме (19) и формулам (20), (21) равна нулю. Это значит, что электростатические си-
14
лы потенциальные (консервативные).
Возможность влиять на движение заряженных частиц с помощью электрического поля широко используется в электронно-лучевых трубках, линейных ускорителях заряженных частиц и т. п.
При помещении проводника в электрическое поле его свободные заряды будут двигаться до тех пор, пока своим полем не скомпенсируют внешнее поле так, что внутри проводника поле будет отсутствовать ( E = 0). Это используется для электростатической защиты приборов (экранирование).
При помещении в электрическое поле диэлектрика, где нет свободных зарядов, возникающее поле связанных зарядов приведет к уменьшению внешнего поля внутри диэлектрика.
Любые тела способны накапливать на себе электрический заряд, однако у различных тел эта способность разная – они отличаются электрической емкостью (электроемкостью), при этом электроемкость значительно зависит от уединенности тела. Наибольшую электроемкость имеют конденсаторы – устройства, содержащие два проводника (обкладки), разделенные слоем диэлектрика. В зависимости от формы проводников (обкладок) различают плоские, сферические, цилиндрические и другие конденсаторы.
Электроемкость конденсатора С – скалярная физическая величина, равная отношению заряда q на одном из проводников к разности потенциалов (напряжению) U между проводниками:
C = |
|
q |
|
= |
|
q |
. |
(23) |
ϕ |
−ϕ |
|
|
|||||
|
2 |
|
U |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В СИ электроемкость измеряется в фарадах (Ф).
Электроемкость конденсатора не зависит ни от его заряда, ни от напряжения, она зависит только от размеров, формы конденсатора и электрических свойств среды между обкладками. Так, для плоского конденсатора электроемкость вычисляется по формуле:
C = |
εε0S |
, |
(24) |
|
d |
||||
|
|
|
где S − площадь одной из пластин конденсатора; d − расстояние между пластинами.
Если конденсатор зарядить от источника напряжения и, отключив его от источника, изменить расстояние d или величину ε, то будут меняться электроемкость С и напряжение U, а заряд q будет постоянным (q = const).
15
Если, зарядив конденсатор, не отключать его от источника, то при измененииε илиd, будутменятьсяСиq, анапряжениебудетпостоянным(U = const).
При последовательном соединении конденсаторов (рис. 5) их общая электроемкость вычисляется по формуле:
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
+... + |
1 |
, |
(25) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
C |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
C |
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
об |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при параллельном (рис. 6) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Cоб |
= C1 + C2 +... + Cn . |
|
(26) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
С2 |
|
С3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рис. 5. Последовательное соединение |
|
|
Рис. 6. Параллельное соединение |
|||||||||||||||||
|
конденсаторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конденсаторов |
|||||||||
Между пластинами заряженного конденсатора создается электрическое поле, которое является носителем электрической энергии. Величину электрической энергии поля можно найти через характеристики конденсатора или через характеристики электрического поля (для изотропного диэлектрика):
W = |
q2 |
|
qU |
|
CU 2 |
|
εε |
E2 |
V , |
|
|
= |
|
= |
|
= |
0 |
|
(27) |
||
|
|
|
|
|||||||
e |
2C |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где V − объем пространства между обкладками конденсатора.
3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Электрический ток – упорядоченное движение заряженных частиц. Занаправлениетокапринимаетсянаправлениедвиженияположительныхзарядов.
Основной характеристикой тока является сила тока. Сила тока – скалярная физическая величина, равная отношению заряда dq, проходящего через поперечное сечение проводящей среды за время dt, к этому промежутку времени:
i = |
dq |
. |
(28) |
|
|||
|
dt |
|
|
В СИ сила тока измеряется в амперах (А).
16
Если сила тока не изменяется (i = I = const), то ток называют постоянным, тогда
I = |
q . |
(28а) |
|
t |
|
Если проводящая среда оказывает препятствие движению зарядов, то она имеет электрическое сопротивление R.
В СИ электрическое сопротивление измеряется в омах (Ом). Сопротивление металлической проволоки постоянного сечения рассчи-
тывается по формуле:
R = ρe |
|
, |
(29) |
|
S |
||||
|
|
|
где ρе − удельное электрическое сопротивление материала проволоки, Ом м; ℓ − длина проводника, м;
S − площадь поперечного сечения проводника, м2.
Закон Ома для участка цепи утверждает: сила тока на участке электри-ческой цепи прямо пропорциональна падению напряжения на этом участке и обратно пропорциональная сопротивлению этого участка:
I = |
U |
. |
(30) |
|
|||
|
R |
|
|
На участке электрической цепи могут находиться несколько сопротивлений, включенных последовательно или параллельно.
При последовательном соединении n проводников (рис. 7)
|
|
I |
об |
= I = I |
2 |
= |
... = I |
; |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
Uоб =U1 +U2 +... +Un ; |
(31) |
|||||||||||||
|
|
R |
|
= R + R +... + R |
|
|||||||||||
|
|
|
об |
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|||||
(при R1 = R2 = … = R; Rоб = nR ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при параллельном (рис. 8) – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Iоб = I1 + I2 +... + In ; |
|
|||||||||||
|
|
|
Uоб =U1 =U2 =... =Un ; |
(32) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 |
+ |
1 |
+... + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
R |
|
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
об |
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|||
(при R1 = R2 |
= … = R; R = |
R |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
об |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
||
Электрический ток, протекая по проводнику, нагревает его. Количество тепла, выделяемое в проводнике при протекании по нему электрического тока, вычисляется по закону ДжоуляЛенца:
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = ∫i2 Rdt . |
|
|
|
|
|
(33) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R1 R2 R3 |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рис. 7. Последовательное соединение |
Рис. 8. Параллельное соединение |
||||||||||||
|
проводников |
|
|
проводников |
|
||||||||
Для постоянного тока формула (33) примет вид: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Q = I 2 R t = U 2 |
t = IU |
t , |
(33а) |
||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
где t – время протекания тока.
Тепловое действие тока носит и вредный характер (потеря энергии в проводах), и полезный (в различных электронагревательных приборах). Любой электронагревательный прибор характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД):
η = |
Qпол |
100 %, |
(34) |
|
|||
|
Qзат |
|
|
где Qзат − энергия электрического тока (вычисляется по формулам (33), (33а)); Qпол − полезная энергия нагревательного прибора.
Так, например, для нагрева какого-либо вещества (жидкости, твердого тела)
Qпол = mc T = mc(T2 −T1 ), |
(35) |
где m − масса вещества, кг;
с − удельная теплоемкость вещества, Дж/(кг К);
T =T2 −T1 − разность значений конечной и начальной температуры нагреваемого вещества. (Формула (35) справедлива для с = const в интервале значений температуры T .)
18
Для непрерывного протекания тока в электрической цепи нужен источник тока (батарея, аккумулятор, генератор и т. п.). Основной характеристикой любого источника является электродвижущая сила (ЭДС).
ЭДС (E ) источника – скалярная физическая величина, равная отношению работы сторонних сил Аст, перемещающих электрический заряд q внутри источника против электрических сил, к величине этого заряда:
E = |
Aст |
. |
(36) |
|
|||
|
q |
|
|
В СИ ЭДС измеряется в вольтах (В).
Электрическое сопротивление источника называют внутренним сопротивлением r.
Закон Ома для замкнутой ( полной) электрической цепи (рис. 9) утверждает: сила тока в замкнутой цепи I прямо пропорциональна ЭДС в этой цепи и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи Rполн:
|
|
I = |
E |
= |
E |
, |
(37) |
|
|
|
R |
|
r + R |
|
|
|
|
|
полн |
|
|
|
|
где R – общее сопротивление внешней цепи. |
|
|
|||||
Для |
расчета |
разветвленных |
элек- |
|
E |
||
трических |
цепей |
применяют |
правила |
|
|||
|
r |
||||||
Кирхгофа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
Первое правило Кирхгофа: |
|
||||||
|
R |
||||||
алгебраическая сумма токов, сходящихся |
|
||||||
|
|
||||||
в узле, равна нулю: |
|
|
|
|
Рис. 9. Схема замкнутой (полной) |
||
|
N |
|
|
|
|
||
|
∑Ii = 0 |
|
(38) |
|
электрической цепи |
||
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
(токи, подходящие к узлу, берутся со знаком «плюс», отходящие – со знаком «минус»).
Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура (алгебраическая сумма произведений силы токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура) равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
N |
M |
|
∑Ii Ri = |
∑E j , |
(39) |
i=1 |
j=1 |
|
19 |
|
|
где N – число отдельных участков, на которые разбивается контур цепи; М – число ЭДС в замкнутом контуре.
Для применения второго правила Кирхгофа выбирается (произвольно) определенное направление обхода контура (по ходу часовой стрелки или против хода). Положительными считаются токи, направления которых совпадают с направлением обхода контура. ЭДС источников электрической энергии считаются положительными, если они создают токи, направление которых совпадает с направлением обхода контура.
4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Движущийся электрический заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает не только электрическое поле, но и магнитное, поэтому вокруг любого проводника с током существует магнитное поле. Основной силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B .
Определение магнитной индукции можно дать одним из трех эквивалентных способов:
исходя из силового действия магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу – точечный электрический заряд;
основываясь на силовом действии магнитного поля на малый элемент проводника с током;
исходя из силового действия магнитного поля на небольшую рамку с током. На частицу с электрическим зарядом q, движущуюся в магнитном поле со скоростью υ , направленной произвольным образом по отношению к вектору
магнитной индукции B, действует сила |
Лоренца: |
|
|
|
(40) |
FЛ = q v B . |
||
Направление FЛ определяется правилом векторного |
произведения или |
|
«правилом левой руки»: левую руку нужно расположить так, чтобы вектор B входил в ладонь, четыре вытянутых пальца направить по скорости υ частицы, и тогда отогнутый на 90° большой палец укажет направление FЛ для q > 0 (для q < 0 направление FЛ нужно изменить на 180°).
Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно к скорости свободно движущейся заряженной частицы и сообщает ей нормальное ускорение. Не изме-
20