1 Оптика Задачи

УДК 530.1(075.8)

ББК 22.3я73

К93

Оптика. Задачи: Методические указания к решению задач по физике / Р. С. Курманов, О. И. Сердюк, Г. Б. Тодер, Н. А. Хмырова; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2013. 38 с.

Методические указания составлены в соответствии с действующей программой по курсу общей физики для втузов, содержат основные формулы и задачи по теме «Оптика», требующие знания законов сложения колебаний к волновым явлениям, законов отражения и преломления волн, теории интерференции, дифракции и поляризации в оптике, а также задачи для самостоятельной работы на различные виды интерференции волн, дифракции и поляризации света.

Предназначены для студентов 2-го курса дневного и заочного обучения технических вузов.

Библиогр.: 6 назв. Табл. 1. Рис. 17.

Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, доцент Г. И. Косенко; доктор техн. наук, профессор В. Е. Митрохин.

__________________________

С Омский гос. университет путей сообщения, 2013

2

ВВЕДЕНИЕ

В задачах по оптике, собранных в настоящем издании, рассматриваются сложные волновые процессы: интерференция, дифракция и поляризация волн. Опыт решения и тщательная проработка задач приводят к глубокому пониманию физической сути этих важных явлений. Разнообразие представленных задач на данную тему дает возможность увидеть, насколько часто встречаются в повседневной жизни и широко применяются в научных и практических исследованиях рассматриваемые оптические явления.

Необходимые теоретические сведения, анализ причин и следствий интерференции, дифракции и поляризации, примеры многочисленного применения этих процессов, математический аппарат волновой оптики и допустимые в его рамках приближения, часто используемые в оптике и дающие правильные качественные и количественные результаты, имеются в литературе [1 – 3]. Множество примеров задач можно найти в задачниках [4, 5]. Примеры решения всех типов задач, предлагаемых в настоящем указании для самостоятельной работы, представлены в методическом указании [6].

Важной особенностью названных выше явлений является возможность их наглядного представления, поэтому решение задач по волновой оптике необходимо начинать с рисунка, наглядно отражающего сущность и условия возникновения рассматриваемого процесса или явления, а затем приступать к математическому их описанию. Полученные результаты должны быть осмыслены и, по возможности, также представлены на рисунке.

Таким образом, одна из основных целей методических указаний – выработать общий подход к изучению волновых явлений, часто используемых в различных областях практической деятельности.

Во всех задачах, включенных в методические указания, считается, что выполнены все условия, необходимые для возникновения рассматриваемых явлений. Пример решения и правильного оформления решения задачи приведен в разд. 4.

5

1. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

1.1. Разность хода волн

1.1.1. Основные формулы и обозначения

Длина гармонической волны связана с периодом T и модулем фазовой

начальная фаза волны; вектор r проводится от какой-либо точки источника волны, играющей роль начала отсчета, к колеблющейся точке. При расчетах волновых явлений важна не фаза, а разность фаз волн

пути до этой точки, скорректированная с учетом разности начальных фаз; в случае электромагнитных волн (ЭМВ), например, световых лучей, L1 L2 – оптическая разность хода – разность оптических длин пути лучей, а – длина волн в вакууме. Оптическая длина пути луча, распространяющегося в оптиче-

При отражении луча от оптически более плотной среды (среды с бóльшим показателем преломления) его фаза и разность хода скачком меняются со-

поэтому говорят, что при отражении света от оптически более плотной среды теряется полуволна. Если такое отражение происходит четное число раз, то фаза и разность хода считаются неизменными (см. замечание на стр. 7 настоящих указаний). При преломлении лучей и при отражении лучей от оптически менее

6

плотной среды (среды с меньшим показателем преломления) дополнительных изменений в разности фаз и разности хода не происходит.

При сложении двух когерентных гармонических волн одинаковой частоты с амплитудами A1 , A2 и с одинаковым направлением колебаний амплитуда колебаний в каждой точке результирующей волны определяется по формуле:

З а м е ч а н и е . Так как в измеряемые физические величины разность фаз входит только как аргумент тригонометрических функций, имеющих период 2 , разность фаз вычисляется с точностью до 2 N , где N – целое. По этой же причине разность хода вычисляется с точностью до N .

Условия минимума интерференции для разности фаз и разности хода волн имеют вид:

Целое неотрицательное число m – порядок минимума интерференции. Условия максимума интерференции для разности фаз и разности хода волн имеют вид:

7

деляется на два луча – 1 и 2; после прохождения второй такой же пластины П2 лучи сводятся в пучок 3 и попадают в объектив O зрительной трубы, в которой с помощью собирающей линзы наблюдается интерференция лучей (линза не вносит дополнительной разности хода).

Схема интерферометра Майкельсона (рис. 2): попадая на полупрозрачную пластинку P , пучок света, проходящий от источника через объектив O1 , разделяется на два когерентных луча – 1 и 2; луч 1 отражается от зеркала M1 и от пластинки P , а луч 2 после отражения от зеркала M 2 вторично проходит пластинку P ; затем

1.1.2. Задачи

1)Найти минимальную не нулевую разность хода двух когерентных волн длиной 600 нм, если в результате интерференции в данной точке интерференционной картины наблюдается максимум. Ответ: 600 нм.

2)Сколько длин (какое минимальное число) полуволн укладывается в разности хода двух когерентных волн длиной 800 нм, если в данной точке интерференционной картины наблюдается минимум. Ответ: 1.

3)Определить результат интерференции двух когерентных волн (максимум или минимум результирующей волны будет наблюдаться), если длина волн 700 нм, а разность их хода 1750 нм. Ответ: 5, минимум.

4)В упругой среде распространяются без затухания плоские волны от двух когерентных источников, колеблющихся в одинаковом направлении с частотой 10 с-1. Амплитуда колебания первого источника 4 см, начальная фаза –

/ 2 , второго – 8 см и / 4 соответственно. Скорость распространения волн – 20 м/с. Определить результат интерференции волн (максимум или минимум результирующей волны будет наблюдаться) в точке, расположенной на расстоя-

8

нии 50 и 25 см соответственно от первого и второго источников. Найти амплитуду результирующей волны в этой точке. Ответ: максимум, 12 см.

5) В упругой среде без затухания распространяются две плоские монохроматические волны от двух когерентных источников, колеблющихся с частотой 20 Гц. Амплитуда колебания первого источника – 5 см, начальная фаза – , второго – 10 см и / 2 соответственно. Скорость распространения волн – 10 м/с. Определить, какова должна быть минимальная положительная разность хода лучей в точках а) минимума, б) максимума интерференции. Найти амплитуду результирующей волны в этих точках. Ответ: а) 12,5 см, 15 см; б) 37,5 см, 5 см.

6)Радиоволны могут отражаться от соседних гор или самолетов, отраженные сигналы могут интерферировать с прямым сигналом от станции. Определить, ослабляющая или усиливающая интерференция произойдет, когда приемника достигнут одновременно два сигнала: сигнал телевизионной станции, работающей на частоте 75 МГц, и сигнал, отраженный от самолета, пролетающего на высоте 118 м над приемником. Какой будет интерференция, если самолет снизится на 22 м? Считать, что расстояние между станцией и приемником много больше расстояния между приемником и самолетом, а при отражении от самолета не возникает сдвига фаз. Ответ: 48, максимум; 59, минимум.

7)С лодки пловцу посылается одновременно два звуковых сигнала одинаковой частоты 2,32 кГц и с одинаковой начальной фазой: первый – по воздуху в горизонтальном направлении, второй – по воде под некоторым углом к горизонтальной поверхности дна, находящегося на глубине 12 м. Максимум или минимум результирующей волны будет фиксировать пловец, если расстояние между ним и лодкой равно а) 18, б) 32 м? Считать, что при отражении волны фаза не меняется. Скорость звука в воздухе – 330 м/с, в воде – 1450 м/с. Ответ: 157, минимум; 322, максимум.

8)Два динамика расположены на расстоянии 4 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте 1000 Гц. В 40 м от каждого из них находится слушатель. На какое расстояние должен удалиться слушатель от центральной линии, двигаясь перпендикулярно ей, чтобы достичь а) первого, б) второго минимума интерференционной картины? Скорость звука – 330 м/с.

Ответ: а) 1,65 м; б) 4,95 м.

9)В точку A экрана от точечного источника S монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм приходят две волны: непосредственно от источни-

9

ка – луч SA – перпендикулярно экрану и луч SBA, отраженный в точке B от зеркала, параллельного лучу SA . Расстояние от источника до экрана – 80 см, от луча до плоскости зеркала – 2 мм, SB BA. Каким будет результат интерференции лучей в точке A? Что произойдет с интерференционной картиной, если на пути луча SA поместить плоскопараллельную пластину из стекла толщиной 5,5 мкм и показателем преломления 1,5?. Считать, что при отражении от зеркала фаза меняется на . Ответ: 39, минимум; 10, максимум.

10)На пути одного из лучей интерферометра Жамена (см. рис. 1) поместили откачанную трубку длиной 10 см. При заполнении трубки хлором интерференционная картина сместилась на 131 полосу. Длина волны монохроматического света в этом опыте была равна 5,9·10-5 см. Найти показатель преломления хлора. Ответ: 1,0008.

11)В интерферометре Жамена (см. рис. 1) лучи проходят через одинаковые прозрачные трубки длиной 12 см, заполненные воздухом. Показатель преломления воздуха – 1,000292. После того, как в одной из трубок воздух заменили ацетиленом, интерференционная картина сместилась на 76,6 полосы. Определить показатель преломления ацетилена, если длина волны лучей равна

0,5 мкм. Ответ: 1,0006.

12)Для определения показателя преломления аммиака на пути одного из монохроматических когерентных лучей в интерферометре Майкельсона (см. рис. 2) поместили откачанную трубку длиной 14 см. Длина волны лучей – 0,59 мкм. Концы трубок, через которые проходил луч, были закрыты плоскопараллельными стеклами, расположенными перпендикулярно направлению распространения луча. После заполнения трубки аммиаком интерференционная картина, наблюдаемая на экране с помощью собирающей линзы, сместилась на 180 полос. Найти показатель преломления аммиака. Ответ: 1,0008.

13)Чему равна длина волны света, падающего на интерферометр Май-

кельсона (см. рис. 2), если при перемещении подвижного зеркала M 2 на 0,356 мм, наблюдатель насчитывает 850 полос? Ответ: 838 нм.

10