1 Оптика Задачи

1.2. Опыт Юнга

1.2.1.Основные формулы и обозначения

Вопыте Юнга источник света с длиной волны освещает две узкие бесконечные горизонтальные щели, перпендикулярные плоскости рисунка (рис. 3). Проходя через щели, свет разделяется на два пучка – 1 и 2, интерференция ко-

вверх; x – вертикальная координата точки, в которой определяется интенсивность света I. Справа от экрана показана зависимость интенсивности результирующей волны (освещенности экрана) от координаты х. При данном угле наблюдения интенсивность максимальна, если для разности хода лучей (6) выполняется условие максимума (5), и минимальна, если выполняется условие минимума (4). Центральный максимум считается нулевым и соответствует m 0 . В идеальном опыте Юнга щели считаются бесконечными, поэтому интенсивность всех максимумов одинакова. Расстояние между любыми интерференционными полосами (между соседними максимумами, x на рис. 3) и ши-

11

рина любой интерференционной полосы (расстояние между соседними минимумами) в идеальном опыте Юнга одинаковы и равны между собой. В реальном опыте с ростом порядка m интенсивность и ширина максимумов убывают.

1.2.2. Задачи

14)Найти положение второй светлой полосы на экране в опыте Юнга, если расстояние между щелями 0,5 мм, расстояние от щелей до экрана 5 м. Длина волны падающего света – 500 нм. Ответ: 1 см.

15)Найти положение второй темной полосы на экране в опыте Юнга, если расстояние между щелями 0,5 мм, расстояние от щелей до экрана 5 м. Длина волны падающего света – 500 нм. Ответ: 0,75 см.

16)Расстояние между щелями в опыте Юнга – 3 мм. Экран расположен на расстоянии 6 м от щелей. Щели освещаются красным светом с длиной волны 700 нм. Какая (темная или светлая) полоса наблюдается на экране на расстоянии 700 мкм от центрального максимума? Ответ: темная (первый интерференционный минимум).

17)Сколько светлых полос наблюдается на участке интерференционной картины длиной 12,5 мм на экране в опыте Юнга, если щели освещаются зеленым светом с длиной волны 500 нм? Расстояние между щелями – 1 мм, расстояние от щелей до экрана – 2,5 м. Ответ: 11.

18)Найти расстояние между щелями в опыте Юнга, если третий интерференционный максимум находится на расстоянии 3·10-3 м от центральной светлой полосы. Расстояние от щелей до экрана – 5 м. Установка освещается монохроматическим светом с длиной волны 650 нм. Какой толщины пластину нужно поместить на пути одного из интерферирующих лучей, чтобы центральная светлая полоса переместилась в положение шестой светлой полосы? Показатель преломления пластинки – 1,5. Ответ: 3,2 мм; 7,8 мкм.

19)Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга – 2·10-3 м, экран расположен на расстоянии 4 м от отверстий. Определить расстояние между соседними интерференционными полосами на экране, если щели освещаются красным светом с длиной волны 700 нм. Если на пути одного из интерферирующих лучей поместить тонкую стеклянную пластинку с показателем преломления 1,5,

12

то интерференционная картина на экране сместится на 10 полос. Найти толщину этой пластинки. Ответ: 1,4мм; 14мкм.

20)На каком расстоянии от щелей в опыте Юнга расположен экран, если при освещении щелей красным светом с длиной волны 700 нм расстояние между соседними интерференционными полосами на экране 1,4·10-3 м? Расстояние между щелями – 6·10-3 м. Если на пути одного из интерферирующих лучей поместить прозрачную пластинку толщиной 7 мкм, то интерференционная картина на экране сместится на пять полос. Найти показатель преломления этой плас-

тинки. Ответ: 12 м; 1,5.

21)Найти расстояние между пятой и третьей светлыми полосами интерференционной картины в опыте Юнга, если установка освещается зеленым светом с длиной волны 500 нм. Расстояние между щелями – 3·10-3 м, расстояние от щелей до экрана – 3 м. Найти показатель преломления стеклянной пластинки толщиной 2,5 мкм, которую нужно поместить на пути одного из интерферирующих лучей, чтобы интерференционная картина сместилась на три полосы.

Ответ: 1 мм; 1,6.

22)В опыте Юнга расстояние между щелями 5·10-4 м, расстояние от щелей до экрана 6 м. Найти длину волны монохроматического излучения, если расстояние до седьмой темной полосы от центрального максимума равно 5,4·10-2 м. В какое положение сместится эта темная полоса, если на пути одного из интерферирующих лучей поместить стеклянную пластинку толщиной 6 мкм с показателем преломления 1,46? Ответ: 692 нм; 8,72см (сдвиг на четыре полосы).

23)В опыте Юнга расстояние между щелями 10-3 м, расстояние от щелей до экрана 10 м. Щели освещаются зеленым светом с длиной волны 500 нм. Найти положение первой темной интерференционной полосы на экране. На пути одного из интерферирующих лучей помещают стеклянную пластинку толщиной 15 мкм с показателем преломления 1,5. В какое положение при этом смещается центральная интерференционная полоса? Ответ: 2,5 мм; 3,75 мм.

24)В опыте Юнга расстояние между щелями 2·10-3 м. Установка освещается монохроматическим светом с длиной волны 500 нм. Найти расстояние от щелей до экрана, если вторая темная полоса находится на расстоянии 5·10-3 м от центрального максимума. В какое положение сместится центральный максимум, если на пути одного из интерферирующих лучей поместить

13

стеклянную пластинку толщиной 10 мкм с показателем преломления 1,5? От-

вет: 13,3 м; 33 мм.

25)Найти длину волны монохроматического излучения, которым освещается установка в опыте Юнга, если расстояние между седьмой темной и четвертой светлой полосами равно 4,2·10-3 м, расстояние от щелей до экрана – 4 м, расстояние между щелями – 1,3 мм. На пути одного из интерферирующих лучей помещают стеклянную пластинку толщиной 12 мкм. Найти показатель преломления этой пластинки, если при этом интерференционная картина смещается на 10 полос. Ответ: 546 нм; 1,46.

26)Найти расстояние между седьмой темной и пятой светлой интерференционными полосами в опыте Юнга, если установка освещается монохроматическим светом с длиной волны 500 нм. Расстояние между щелями – 4·10-3 м, расстояние от щелей до экрана – 4 м. На сколько полос сместится интерференционная картина, если на пути одного из лучей поставить стеклянную пластинку толщиной 6 мкм с показателем преломления 1,5? Ответ: 0,75 мм; 6.

27)В опыте Юнга расстояние между щелями 5·10-3 м. Установка освещается красным светом с длиной волны 600 нм. Найти расстояние от щелей до экрана, если расстояние между двенадцатой темной и пятой светлой полосами равно 9·10-3 м. На пути одного из интерферирующих лучей помещают стеклянную пластинку толщиной 18 мкм. Найти показатель преломления этой пластинки, если при этом интерференционная картина смещается на 15 полос. От-

вет: 11,5 м; 1,5.

1.3. Интерференция в тонких плоскопараллельных пленках

1.3.1. Основные формулы и обозначения

Наиболее известное проявление интерференции – радужное окрашивание тонких пленок – возникает в результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки. Поэтому при решении задач по данной теме нужно знать длины ЭМВ видимой области спектра, которые указаны в таблице.

Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку (аналог тонкой пленки постоянной толщины) падает рассеянный белый свет. Отраженный и проходящий свет также будут рассеянными. Как видно из рис. 4, лучи 1 и 2, па-

14

дающие на пластину под одним углом, выходят из пластины (после различного количества отражений и преломлений) параллельно друг другу. Поэтому интерференционную картину от таких лучей можно наблюдать на экране в фокальной плоскости собирающей линзы в отраженном (лучи 1 и 2 на рис. 4, а) или проходящем (лучи 1 и 2 на рис. 4, б) свете. Пленка окрашена в определенный цвет при некотором угле наблюдения, если для волны этого цвета при соответствующем угле падения выполняется условие максимума интерференции.

Соответствие цвета и диапазона длин волн

падения луча из первой среды с показателем преломления n1 ; – угол преломления луча в пленке, равный углу падения на третью среду с показателем преломления n3 ; – угол преломления луча в третьей среде. Без учета возможных потерь полуволны при отражении от оптически более плотной среды (2) оптические длины пути лучей 1 и 2 от точки падения A до прямой EC (до линзы) соответственно равны: L1 n1 AE и L2 n2 AB BC ; оптические длины пути

Рис. 4

15

Оптическая разность хода лучей 1 и 2 при наблюдении интерференции в отраженном свете 0 L2 L1 и лучей 1 и 2 при наблюдении интерференции

Линза не вносит дополнительной разности хода.

Если n3 n2 и n1 n2 , то при вычислении оптической разности хода в проходящем свете (см. рис. 4, б) необходимо учесть потерю полуволны при отражении луча 2 в точках B и C от оптически более плотных сред. Если n2 n1 и n3 n2 , то при вычислении оптической разности хода в отраженном свете (см. рис. 4, а) необходимо учесть потерю полуволны при отражении лучей 1 и 2 в точках A и B от оптически более плотных сред. Если происходит одна потеря, то оптическая длина пути 0 / 2, если две потери, то 0 .

Интенсивность результирующей проходящей или отраженной волны максимальна (при данном угле падения), если для разности хода выполняется условие максимума (5), и минимальна, если выполняется условие минимума (4).

1.3.2. Задачи

28)На мыльную пленку с показателем преломления 1,33 под углом 30° к

ееповерхности падает параллельный пучок белого света. При какой минимальной толщине пленки отраженные от нее лучи оранжевого цвета с длиной волны 600 нм будут максимально ослаблены вследствие интерференции? В какой цвет будет окрашена пленка в отраженном свете? Ответ: 297 нм; 400 нм, в фиолетовый.

29)Мыльная пленка с показателем преломления 1,3, нанесенная на плоскую стеклянную поверхность с показателем преломления 1,5, освещается параллельным пучком белого света, падающим на нее под углом 45°. Толщина пленки – 320 нм. Какого цвета лучи имеют в отраженном свете минимальную интенсивность? В какой цвет будет окрашена пленка в отраженном свете? Ответ: 465 нм, синего; 698,2 нм, в красный.

16

30)На поверхность объектива с показателем преломления 1,4 нанесена тонкая прозрачная пленка с показателем преломления 1,6. Толщина пленки – 250 нм. Пленка освещается параллельным пучком белого света, падающим под углом 30° к ее поверхности. В какой цвет окрашена пленка в отраженном свете? Какого цвета лучи имеют в отраженном свете минимальную интенсивность? Ответ: 448 нм, в синий; 677 нм, красного.

31)На плоскую стеклянную поверхность с показателем преломления 1,5 нанесена тонкая прозрачная пленка с показателем преломления 1,3. Пленка освещается параллельным пучком белого света, падающим на нее под некоторым углом. Минимальная толщина пленки, при которой она в отраженном свете окрашена в оранжевый цвет с длиной волны 600 нм, равна 250 нм. Под каким углом свет падает на пленку? Какого цвета лучи имеют в отраженном свете минимальную интенсивность? Ответ: 30°; 400 нм, фиолетового.

32)На мыльную пленку с показателем преломления 1,35 под углом 40° падает параллельный пучок белого света. При какой минимальной толщине пленки через нее не проходит красный цвет с длиной волны 680 нм? В какой цвет будет окрашена пленка в отраженном свете? Ответ: 143 нм; 680 нм, в красный.

33)На плоской стеклянной поверхности с показателем преломления 1,5 образована тонкая прозрачная пленка с показателем преломления 1,6. Пленка освещается параллельным пучком белого света, падающим под углом 60° к ее поверхности. Толщина пленки – 200 нм. В какой цвет окрашена пленка в проходящем свете? Какой длине волны в проходящем свете соответствует минимальная интенсивность? Ответ: 608 нм, в оранжевый; 405 нм.

34)На мыльную пленку под углом 60° к ее поверхности падает параллельный пучок белого света. Минимальная толщина пленки, при которой в проходящем свете она окрашена в оранжевый цвет, равна 250 нм. Длину волны оранжевого цвета принять равной 610 нм. Найти показатель преломления пленки. Какого цвета лучи в проходящем свете имеют минимальную интенсивность? Ответ: 1,3; 407 нм, фиолетового.

35)На плоскую стеклянную поверхность нанесена тонкая прозрачная пленка, показатель преломления которой больше показателя преломления стекла. Пленка освещается параллельным пучком белого света, падающим на нее под углом 60°. Найти показатель преломления пленки, если в проходящих лу-

17

чах она представляется красной при минимальной толщине, равной 250 нм. Длина волны красного цвета 660 нм. Какого цвета лучи не проходят через пленку совсем? Ответ: 1,58; 440 нм, синего.

36)На поверхность стеклянного объектива нанесена тонкая прозрачная пленка, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла. Пленка освещается параллельным пучком белого света, падающим на ее поверхность нормально. При минимальной толщине пленки 270 нм в отраженном свете она представляется красной. Длина волны красного цвета 660 нм. В какой цвет окрашена пленка в проходящем свете? Какого цвета лучи не проходят через пленку совсем? Ответ: 440 нм, в синий; 660 нм, красного.

37)На поверхность стеклянного объектива с показателем преломления 1,5 нанесена тонкая прозрачная пленка с показателем преломления 1,6. Перпендикулярно поверхности пленки падает параллельный пучок белого света. Минимальная толщина пленки, при которой в проходящем свете она окрашена

вжелтый цвет, равна 184 нм. Найти длину волны этого цвета. В какой цвет окрашена пленка в отраженном свете? Какого цвета лучи в проходящем свете имеют минимальную интенсивность? Ответ: 588 нм, желтого; 392 нм, фиолетового.

1.4. Интерференция в клине. Кольца Ньютона

В качестве тонкой пленки переменной толщины рассмотрим пластинку в виде клина (рис. 5). При малом угле клина разность хода лучей 1 и 2 можно с большой точностью вычислять по формуле (7), принимая в качестве d толщину пластинки в точке падения на нее света и учитывая потери полуволны при

18

отражении от оптически более плотных сред. По этой же формуле вычисляется геометрическая разность хода лучей, интерферирующих в проходящем свете. При нормальном падении света на клин формула (7) принимает вид:

(обычно стеклянные) соприкасающиеся сферические поверхности или поверхности плоскости и сферы, то при наблюдении интерференции в отраженном или преломленном свете наблюдаются кольца Ньютона – полосы в форме колец, расположенных концентрически вокруг точки касания. При освещении монохроматическим светом кольца Ньютона представляют собой чередующиеся темные и светлые полосы. Номер темного или светлого кольца равен соответственно порядку минимума или максимума интерференции. Темное кольцо образуется, если соответствующая оптическая разность хода, учитывающая возможные потери полуволн при отражении, удовлетворяет условию минимума интерференции (4), светлое – при выполнении условия максимума (5). При освещении белым светом кольца Ньютона становятся цветными.

Пусть свет падает нормально на сферическую поверхность радиусом R, касающуюся плоской поверхности (луч 0 на рис. 6). Тогда геометрическая разность хода лучей, интерферирующих в отра-

ходимо учесть потерю полуволны при отражении луча 1 от верхней границы

19

зазора и луча 2 – от нижней границы от оптически более плотных сред. Если произошла одна потеря, то оптическая длина пути 0 / 2, если две потери, то 0 .

1.4.2. Задачи

38)На клин из плавленого кварца с показателем преломления 1,46 пер-

пендикулярно поверхности падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 679 нм. Угол клина – 14 . Найти число светлых интерференционных полос, расположенных на участке клина длиной 4·10-2 м, при наблюдении интерференции в проходящем свете. Ответ: 301.

39)На расположенном вертикально плексигласе мыльная пленка образует клин. Пленка освещается монохроматическим светом с длиной волны 645 нм, падающим на пленку нормально. При наблюдении интерференции в проходящем свете расстояние между соседними темными полосами равно 5·10-3 м.

Найти угол клина. Показатель преломления мыльной воды равен 1,33, плекси-

гласа – 1,51. Ответ: 10 .

40)На алмазный клин нормально его поверхности падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 582 нм. Показатель преломления алмаза 2,42. При наблюдении интерференции в отраженном свете оказалось, что на участке клина длиной 5·10-2 м расположено 10 темных полос. Определить угол клина. Ответ: 4,5 .

41)На тонкий стеклянный клин перпендикулярно его поверхности падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 436,5 нм. Показатель преломления стекла – 1,5. При наблюдении интерференции в проходящем свете оказалось, что на участке клина длиной 0,1 м расположено 20 темных полос. Найти угол клина. Ответ: 5,9 .

42)На тонкий стеклянный клин перпендикулярно его поверхности падает параллельный пучок монохроматического света. Угол клина – 5 . Показатель преломления стекла – 1,4. При наблюдении интерференции в отраженном свете расстояние между соседними светлыми интерференционными полосами оказалось равным 4·10-3 м. Найти длину волны этого света. Ответ: 538 нм.

43)Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 500 нм, падающим нормально поверхности лин-

20