9. Плоские гармонические упругие и электромагнитные волны

9.1. Основные формулы и обозначения

Длина гармонической волны связана с периодом и фазовой скоростью соотношением: . Волновое число (модуль волнового вектора ,): , где – круговая частота.

Уравнение бегущей волны имеет вид: , где– расстояние от источника волны до колеблющейся точки;– амплитуда;– фаза волны.

При расчетах обычно важна не фаза, а разность фаз. Разность фаз в двух точках на расстояниях и

, (17)

где – разность хода лучей.

Уравнение плоской бегущей вдоль осиволны:

. (18)

Максимальная скорость рас-пространения электромагнитных волн (ЭМВ) – их скорость в вакууме, равная скорости света в вакууме м/с. Скорость распростра-нения ЭМВ в среде, гдеи– соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости среды. Плоские ЭМВ (рис. 4) в нейтральной непроводящей среде являются поперечными: направления колебаний векторов напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны:и. Векторы напряженности электрического и магнитного полей плоской ЭМВ в любой момент времени взаимно перпендикулярны:. Частоты колебаний напряженности электрического и магнитного полей плоской ЭМВ, и их фазы одинаковы в любой момент времени. Проекции напряженностей электрического и магнитного полей плоской ЭМВ и амплитуды их колебаний связаны между собой соотношениямиисоответственно.

Уравнения колебаний векторов ив плоской волне, распространяющейся вдоль осина расстоянииот начала отсчета, имеют вид:;.

9.2. Задачи

120 (2). В упругой среде вдоль оси распространяется плоская волна от источника, совершающего гармонические колебания с амплитудой 5 см и периодом колебаний 2 с. Скорость распространения волны 15 м/с. Найти: 1) циклическую частоту колебаний; 2) волновое число; 3) расстояние между двумя точками, лежащими на одном луче, для которых разность фаз колебаний равна; 4) скорость и ускорение, с которыми колеблются частицы среды в тот момент, когда смещение источника колебаний от положения равновесия минимально.

121 (2). Плоская упругая волна распространяется вдоль оси от источника колебаний, которые совершаются по закону:, гдесм;с^-1; см^-1, – расстояние от источника. Найти: 1) длину этой волны; 2) скорость распространения волны; 3) фазу волны в точке, находящейся на расстоянии 15 м от источника в тот момент, когда смещение источника от положения равновесия равно нулю; 4) ускорение этой точки в указанный момент времени; 5) скорость точки, расположенной на расстоянии 2 м от источника спустя половину периода от начала колебаний.

122 (2). Плоская гармоническая волна с периодом 0,1 с и амплитудой 12 см распространяется со скоростью 14 м/с в упругой среде. Найти: 1) длину волны; 2) волновое число; 3) разность фаз колебаний для точек, лежащих на одном луче на расстоянии 28 м друг от друга; 4) смещение точки, находящейся на расстоянии 42 м от источника волны спустя 20 с от начала колебаний источника. Уравнение колебаний источника имеет вид: . В начальный момент времени скорость колебаний источника имела максимальное положительное значение.

123 (2). Упругая плоская гармоническая волна распространяется вдоль оси от источника, совершающего колебания с периодом 0,5 с и амплитудой 15 см. До точки, расположенной на расстоянии 40 м от источника, волна доходит за 2 с. Найти: 1) длину волны; 2) скорость распространения волны; 3) разность фаз колебаний двух точек источника и точки; 4) скорость колебаний в указанной точке в тот момент, когда смещение источника от положения равновесия максимально; 5) ускорение колебаний в этой точке спустя 3/4 периода от начала колебаний источника. Начальную фазу принять равной нулю.

124 (2). В упругой среде вдоль оси распространяется плоская волна, уравнений которой имеет вид:, гдесм;с^-1; м^-1, – расстояние от источника. В начальный момент времени смещение источника колебаний от положения равновесия равно 0,5 см. Найти: 1) частоту колебаний частиц среды, в которой распространяется волна; 2) скорость распространения волны; 3) длину волны; 4) ускорение колебаний частиц, расположенных на расстоянии 5 м от источника спустя 10 с от начала колебаний; 5) разность фаз колебаний двух частиц, лежащих на одном луче на расстоянии 314 м друг от друга.

125 (2). В упругой среде вдоль оси распространяется плоская гармоническая волна от источника, совершающего колебания по закону:, гдесм;с^-1. Скорость распространения волны 20 м/с. В начальный момент времени ускорение источника колебаний имело максимальное отрицательно значение. Найти: 1) волновое число; 2) длину волны; 3) скорость колебаний частиц, расположенных на расстоянии 50 м от источника спустя 15 с от начала колебаний; 5) разность фаз колебаний в двух точках, лежащих на одном луче, до которых волна доходит соответственно через 10 и 15 c от начала колебаний источника.

126 (2). Плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси а) в вакууме, б) в однородной изотропной непроводящей немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью, равной 2. Период колебаний вектора напряженности магнитного поля – 5·10^-12 с, амплитуда – 1,7 мкА/м. Найти для обоих случаев: 1) скорость распространения волны; 2) значение напряженности электрического и магнитного полей в момент времени, равный 1/4 периода, в точке, расположенной на расстоянии 5 м от источника волн. Начальную фазу принять равной нулю.

127 (2). Плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси в однородной изотропной непроводящей немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью, равной 3. Частота колебаний вектора напряженности магнитного поля равна 10¹² Гц, амплитуда колебаний этого вектора – 8·10³ А/м. Найти: 1) скорость распространения волны; 2) длину волны в вакууме и в данной среде; 3) значение напряженности электрического и магнитного полей в точках, расположенных на расстоянии 2 м от источника, и в момент времени, равный 1/6 периода, если начальная фаза колебаний источника равна .

128 (2). Плоская монохроматическая электромагнитная волна распространяется в вакууме вдоль оси . Частота колебаний вектора напряженности электрического поля – 4,5·10¹¹ Гц. Найти: 1) длину волны в вакууме; 2) длину волны в однородной изотропной непроводящей немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью, равной 3, и записать уравнение этой волны в указанной среде для вектора напряженности электрического поля, подставив численные значения всех входящих в уравнение величин. Амплитуда колебаний вектора напряженности магнитного поля в среде равна 5 мА/м. Начальную фазу принять равной нулю.

129 (2). Плоская монохроматическая электромагнитная волна распространяется в вакууме вдоль оси . Частота колебаний вектора напряженности электрического поля – 2·10¹¹ Гц. Найти: длину волны и скорость распространения в однородной изотропной непроводящей немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью, равной 4, и записать уравнение этой волны в указанной среде для вектора напряженности магнитного поля, подставив численные значения всех входящих в уравнение величин, если модуль вектора напряженности электрического поля в среде в начальный момент времени максимален и равен 10 В/м.