7. Вынужденные механические колебания1

7.1. Основные формулы и обозначения

Обобщенная гармоническая вынуждающая сила задается выражением: , в котороми– амплитуда и циклическая частота колебаний этой силы соответственно.

Закон вынужденных гармонических колебаний при установившемся движении: ,

где – амплитуда;

–разность фаз между смещением и вынуждающей силой,

. (16)

Резонансная частота: .

Резонансная амплитуда: .

При малом затухании ,, разность фаз , .

7.2. Задачи

92 (1). К материальной точке, первоначально находившейся в положении равновесия, приложили вынуждающую силу, направленную вдоль оси и меняющуюся по закону косинуса. По какому закону будет изменяться координата колеблющейся точки, если ее масса 40 г, частота и амплитуда вынуждающей силы соответственно равныс^-1 и 10 Н? Коэффициент жесткости системы – 40 Н/м. Сопротивлением среды пренебречь.

93 (2). Частота свободных затухающих колебаний некоторой системы 100 с^-1, резонансная частота 99 с^-1. Определить добротность системы.

94 (2). Найти добротность осциллятора, частота затухающих колебаний которого в 1,03 раза больше резонансной.

95 (2). Материальная точка находится в вязкой среде. На нее начала действовать гармоническая вынуждающая сила. Найти разность фаз между вынуж-дающей силой и смещением точки от положения равновесия. Собственная частота колебаний точки 40 с^-1, коэффициент сопротивления среды 0,1 кг·с^-1.

96 (2). Маленький шарик массой 0,2 кг подвесили к невесомой пружине, которая при этом растянулась на 0,01 м. Затем на шарик начала действовать внешняя вертикальная сила, меняющаяся по гармоническому закону, и шарик стал совершать вынужденные колебания. Амплитуда силы 3 Н. Найти максимальную амплитуду колебаний шарика и частоту колебаний вынуждающей силы, при которой амплитуда колебаний шарика максимальна. Коэффициент затухания колебаний шарика равен 5 с^-1.

97 (2). Осциллятор массой движется по закону:под действием вынуждающей силы. Считая,,иизвестными, найти коэффициент затухания осциллятора.

98 (2). Найти максимальное значение амплитуды смещения осциллятора, совершающего вынужденные колебания под действием вынуждающей гармонической силы с амплитудой 2,5 Н, если частота затухающих колебаний данного осциллятора 100 с^-1, а коэффициент сопротивления 0,5 кг/с.

99 (2). Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах 400 с^-1 и 600 с^-1 равны между собой. Найти частоту, при которой амплитуда смещения максимальна.

100 (3). При частотах вынуждающей гармонической силы 100 с^-1 и 140 с^-1 амплитуда скорости частицы равна половине максимального значения. Найти: 1) частоту, соответствующую резонансу скорости; 2) коэффициент затухания; 3) частоту затухающих колебаний.

101 (3). Под действием внешней вертикальной силы тело, подвешенное на пружине, совершает вынужденные колебания по закону:. Найти работу: 1) вынуждающей силы; 2) силы трения за период колебания.

102 (3). Под действием вертикальной вынуждающей гармонической силы с частотой 25 с^-1 шарик массой 50 г, подвешенный на пружине жесткостью 20 Н/м, совершает вынужденные колебания. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на . Найти добротность осциллятора.

103 (3). Гирька массой 0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совершает вынужденные колебания. Коэффициент затухания равен 0,75 с^-1, коэффициент жесткости пружины – 50 Н/м. Найти: 1) зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, если наибольшее значение вынуждающей силы равно 0,98 Н; 2) резонансную частоту и значение амплитуды вынужденных колебаний при резонансе; 3) сдвиг фаз между колебаниями вынуждающей силы и вынужденными колебаниями пружины.

104 (3). По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии 30 см друг от друга. По этой дороге прокатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на 2 см под действием груза массой 1 кг. С какой скоростью катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски 10 кг.