4. Сложение гармонических колебаний

4.1. Основные формулы и обозначения

При сложении гармонических колебаний одного направления удобно использовать метод векторных диаграмм. Каждое колебание, например, изображается векторомна плоскости (рис. 2) длина вектора равна амплитуде колебания. Угол между вектороми горизонтальной осью равен фазесоответствующего колебания в данный момент времени.

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты колебания представляются на диаграмме с помощью векторов и . Вектор, описывающий результирующее колебание, строится по правилам сложения векторов. На рис. 3 представлена векторная диаграмма, соответствующая сложению колебаний в начальный момент времени.

Частота результирующего колебания также равна. Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания определяются соответственно по формулам:

; . (8)

Рассмотрим два линейных взаимно перпендикулярных колебания, совершаемых точкой в плоскости :

; . (9)

Уравнение результирующей траектории движения содержит только переменные и, но не содержит времени. Оно получается, если каким-либо образом исключить из формул (9) время, например, выразитьчерезили. Если частоты (периоды) относятся как целые числа (дробьявляется рациональной), то траектория оказывается замкнутой, а движение – периодическим.

4.2. Задачи

59 (1). Построить векторную диаграмму в начальный момент времени при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одного направления. Найти графически и аналитически амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Записать закон результирующего колебания. Законы складываемых колебаний имеют вид:

1) ;, гдесм;см;с^-1; ;;

2) ;, гдесм;см;с^-1; ;;

3) ;, гдесм;см;с^-1; ;;

4) ;, гдесм;с^-1;

5) ;, гдесм;см;с^-1; ;;

6) ;, гдесм;с^-1; ;

7) ;, гдесм;см;с^-1; ;

8) ;, гдесм;см;с^-1; ;;

9) ;, гдесм;см;с^-1; ;;

10) ;, гдесм;см;с^-1; ;.

60 (2). Получить уравнение траектории частицы и построить траекторию в плоскости , если частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

1) ;, гдесм;см;с^-1;

2) ;, гдесм;см;с^-1;

3) ;, гдесм;см;с^-1;

4) ;, гдесм;см;с^-1;

5) ;, гдесм;с^-1; ;

6) ;, гдесм;с^-1; ;

7) ;, гдесмсм;с^-1; ;

8) ;, гдесмсм;с^-1; ;

9) ;, гдесм;см;с^-1; ;;

10) ;, гдесм;с^-1; ;.

5. Свободные затухающие механические колебания

5.1. Основные формулы и обозначения

На систему, совершающую свободные затухающие колебания, действуют две обобщенных силы: возвращающая сила, задаваемая формулой (4), и сила трения:

, (10)

где – обобщенный коэффициент сопротивления среды.

Закон затухающих колебаний:

, (11)

где – экспоненциально убывающая амплитуда;

–начальная амплитуда, вещественная константа;

–коэффициент затухания, ;

–частота затухающих колебаний.

Потенциальная и кинетическая энергия затухающих колебаний определяются формулами (6), в которые подставляются выражения для скорости и смещения при затухающих колебаниях.

При малом затухании при усреднении за период пренебрегают изменением множителя:.

Средняя за период полная энергия затухающих колебаний:

, (12)

где – начальное значение энергии.

Логарифмический декремент затухания:

. (13)

При малом затухании добротность колебательной системы

. (14)

Добротность принято также выражать через отношение запасенной в системе энергии (12) к средней за период потере энергии:

. (15)