2. Свободные незатухающие механические колебания

2.1. Основные формулы и обозначения

Пусть материальная точка совершает свободные незатухающие колебания с амплитудой вдоль осивблизи начала координат, совпадающего с положением устойчивого равновесия. Тогда координата точки, т. е. ее смещение от положения равновесия, меняется с течением временипо гармоническому закону¹:

, , (5)

где – фаза;

–начальная фаза колебаний.

Проекции скорости и ускоренияна осьтакже меняются по гармоническому закону. Кроме того, координата и ускорение связаны между собой посредством уравнения (1), воспользовавшись которым можно решить обратную задачу, например, найти зависимостьпо известной зависимости, или найти зависимостьпо известной зависимости.

Потенциальная¹ и кинетическая энергия механических колебаний:

; . (6)

Полная энергия колебаний не зависит от времени:

. (7)

При колебаниях физического и математического маятников по гармоническому закону изменяются угол поворота (– амплитуда колебаний угла поворота), угловая скорость, угловое ускорениеи т. д. (рис. 1).

Кинетическая, потенциальная и полная энергия колебаний физического и математического маятников:

; ;.

Длина дуги окружности , описываемой грузом, при малых колебаниях математического маятника равна длине хорды и модулю горизонтального смещения груза, поэтому, где– амплитуда смещения вдоль горизонтальной оси.

2.2. Задачи

15 (1). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1; . Найти смещение точки от положения равновесия в момент времени, когда фаза равна 60°.

16 (1). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдес^-1. Найти амплитуду колебаний, если в момент времени, равный четверти периода, смещение точки было равно 4 см.

17 (1). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Найти начальную фазу колебаний, если в начальный момент времени смещение точки было равно 3 см.

18 (1). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Найти проекцию скорости точки на ось в момент времени, равный половине периода.

19 (1). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси , при которых проекция ее скорости на эту ось меняется по закону:, гдесм/с;с^-1. Найти проекцию ускорения точки на ось в момент времени, равный четверти периода.

20 (1). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси , при которых проекция ее скорости на эту ось меняется по закону:, гдесм/с;с^-1. Найти координату точки в момент времени, равный половине периода.

21 (1). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси , при которых проекция ее ускорения на эту ось меняется по закону:, гдесм/с;с^-1. Найти проекцию скорости точки на ось в момент времени, равный шестой части периода.

22 (2). Материальная точка массой 5 г совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Найти: 1) начальную фазу колебания, если в начальный момент времени смещение точки от положения равновесия было равно 2 см; 2) ускорение точки в момент времени, равный четверти периода; 3) кинетическую и потенциальную энергию точки в момент времени, равный половине периода.

23 (2). Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Найти: 1) начальную фазу колебания, если в начальный момент времени смещение точки от положения равновесия было равно 2,5 см; 2) скорость и ускорение точки в момент времени, когда смещение было минимальным; 3) максимальную силу и силу, действующую на точку в положении равновесия; 4) полную энергию точки.

24 (2). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Найти фазу колебания и момент времени, ближайший к начальному, в который потенциальная энергия точки равна 200 мкДж, а проекция возвращающей силы  –2 мН.

25 (2). Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Найти фазу и момент времени, ближайший к началу колебаний, когда возвращающая сила имела значение 20 мН, а кинетическая энергия точки – 12 мкДж.

26 (2). Материальная точка массой 5 г совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Определить проекции ускорения точки, и силы, действующей на точку, а также потенциальную энергию точки в момент времени, когда модуль ее скорости равен 8 см/с.

27 (2). Частица массой 3 г совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Найти модуль силы, действующей на частицу: 1) в тот момент, когда фаза колебаний равна 30°; 2) в точке наибольшего отклонения частицы от положения равновесия.

28 (2). Частица массой 10 г совершает гармонические колебания вдоль оси . В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, проекция ее скорости равна 20 см/с, а проекция ускорения –80 см/с². Найти циклическую частоту, период и амплитуду колебаний, а также фазу в рассматриваемый момент времени.

29 (2). Найти циклическую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы вдоль оси , если на расстоянияхиот положения равновесия проекция ее скорости равна соответственнои.

30 (2). Частица совершает колебания вдоль оси по закону:. В некоторый момент времени смещение точки от положения равновесия было равно 10 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение стало равным 5 см. Найти амплитуду колебаний.

31 (2). Частица совершает колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1. Найти: 1) фазу колебаний в момент времени, равный четверти периода, если в начальный момент времени смещение точки было равно 1,5 см; 2) момент времени, ближайший к началу колебаний, когда кинетическая энергия принимает максимальное значение, и число колебаний, которое точка совершила за это время.

32 (2). Пружинный маятник совершает гармонические колебания вдоль оси по закону:, гдесм;с^-1; . Найти: 1) жесткость пружины маятника, если масса груза равна 1 кг; 2) момент времени, ближайший к началу колебаний, когда модуль ускорения маятника имеет максимальное значение; 3) полную энергию маятника.

33 (2). Масса пружинного маятника – 0,5 кг, период собственных колебаний – 10 c. Пружину растянули на 10 см и отпустили. Найти: 1) начальную фазу колебаний; 2) модуль ускорения маятника спустя шестую часть периода от начала колебаний; 3) ближайший к началу колебаний момент времени, в который потенциальная энергия маятника будет максимальной.

34 (2). Стержень массой 1 кг и длиной 0,3 м укреплен так, что может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Сначала стержень висел вертикально. Затем его отклонили от положения равновесия на угол 10° и отпустили. Записать закон колебаний стержня. Найти: 1) период колебаний; 2) моменты времени, в которые кинетическая энергия стержня будет максимальной; 3) угловое ускорение маятника, его кинетическую и потенциальную энергию спустя одну треть периода колебаний.

35 (2). Математический маятник массой 3 кг, подвешенный на нити длиной 2 м, вывели из положения равновесия, сообщив грузу начальную скорость 20 см/с, направленную горизонтально вдоль оси . По какому закону будет меняться угол отклонения маятника от положения равновесия? Найти значение потенциальной энергии маятника спустя шестую часть периода колебаний. В какой ближайший к началу колебаний момент времени проекция ускорения маятника на осьбудет равна 0,3 м/с²?

36 (2). Пружинный маятник совершает колебания вдоль оси , при которых проекция его скорости на эту ось меняется по закону:, гдесм/с;с^-1. В какие моменты времени (считая от начала колебаний) проекция ускорения маятника будет иметь максимальное отрицательное значение? Найти потенциальную энергию маятника в момент времени, равный 1/8 периода после начала колебаний, если масса груза 2 кг.

37 (2). Математический маятник массой 1 кг совершает колебания, при которых проекция его ускорения на ось меняется по закону:, гдесм/с²; с^-1. Найти: 1) длину нити маятника; 2) начальную фазу колебаний, если в начальный момент времени проекция ускорения была равна -12 см/с²; 3) кинетическую энергию маятника в момент времени, равный 1/12 периода колебаний; 4) возвращающую силу спустя половину периода от начала колебаний.

38 (3). К вертикально расположенной пружине подвесили два груза по 100 г каждый, в результате пружина растянулась на 5 см. Через некоторое время нижний груз упал. Определить смещение, скорость и ускорение оставшегося груза через с. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

39 (3). На нити длиной 50 см висит маленький шарик массой 0,6 кг. В шар попадает пуля массой 20 г, летящая горизонтально со скоростью 7 м/с, и застревает в нем. Считая колебания системы гармоническими, записать закон колебаний. Найти: 1) период колебаний маятника; 2) момент времени (от начала колебаний), когда модуль скорости шарика будет равен 2 м/с; 3) максимальный угол, на который отклонится нить маятника от положения равновесия; 4) потенциальную энергию маятника спустя одну четверть периода колебаний.

40 (3). На горизонтальной плоскости покоился брусок массой 500 г, прикрепленный к пружине, второй конец которой надет на крючок, вбитый в стенку. Пружина не деформирована, ее жесткость 200 Н/м. Пуля массой 10 г, летевшая вдоль оси пружины в направлении стенки, попала в брусок и застряла в нем. В результате взаимодействия пружина сжалась на 8 см. Найти: 1) частоту колебаний системы; 2) значение модулей скорости и ускорения, а также значение потенциальной энергии системы в момент времени, равный трети периода, после начала колебаний; 3) модуль скорости пули до удара. Трением между бруском и плоскостью пренебречь.

41 (3). Математический маятник массой 1 кг совершает гармонические колебания с частотой с^-1. Эти колебания возникли после того, как, отклонив нить от положения равновесия на угол 2,5°, сообщили грузу начальную угловую скорость 6 рад/с. Начальная угловая скорость была направлена так, что маятник начал движение к положению равновесия. Найти: 1) длину нити; 2) начальную фазу и амплитуду колебаний; 3) модуль и направление возвращающей силы спустя четверть периода; 4) потенциальную энергию спустя 1/8 периода.