- •Министерство транспорта Российской Федерации
- •Введение
- •1. Теоретические сведения
- •1.1. Понятие о системах счисления
- •1.2. Представление чисел с помощью позиционных систем счисления
- •1.2.1. Десятичная система счисления
- •1.2.2. Системы счисления с произвольным основанием
- •Алфавиты некоторых систем счисления
- •1.3. Системы счисления, применяемые в компьютере
- •1.3.1. Двоичная система счисления и двоичное кодирование информации
- •1.3.2. Двоичная арифметика
- •1.3.3. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
- •1.4. Перевод чисел из системы с произвольным основанием в десятичную систему счисления
- •1.5. Быстрый способ перевода чисел с помощью устного счета
- •1.6. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему с произвольным основанием
- •1.6.1. Перевод целых десятичных чисел
- •1.6.2. Перевод правильных десятичных дробей
- •1.6.3. Перевод десятичных чисел, содержащих целую и дробную части
- •1.6.4. Перевод правильных простых дробей
- •1.7. Перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием q
- •1.7.1. Общий случай
- •1.7.2. Поразрядные способы перевода чисел для систем с кратными основаниями
- •2. Примеры решения задач
- •Для перевода числа 1510 в двоичную систему счисления необходимо выполнить последовательное деление на 2 и выписывание остатков в порядке, обратном их получению (см. П. 1.6.1):
- •3. Задания
- •4. Контрольные вопросы
- •Системы счисления
- •644046, Г. Омск, пр. Маркса, 35
1.3.3. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Запись числа в двоичной системе громоздка, поэтому, как говорилось выше, для внешнего представления данных, адресации памяти используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Например, А8 = 23,718 = 2·81 + 3·80 + 7·8-1 + 1·8-2;
А16 = 23,7116 = 2·161 + 3·160 + 7·16-1 + 1·16-2;
А16 = АF,EC16 = A·161 + F·160 + E·16-1 + C·16-2 =
= 10·161 + 15·160 + 14·16-1 + 12·16-2.
Т а б л и ц а 2 | |||
Десятичные числа от 0 до 16 и равные им двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа
| |||
р = 10 |
р = 2 |
р = 8 |
р = 16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
2 |
3 |
11 |
3 |
3 |
4 |
100 |
4 |
4 |
5 |
101 |
5 |
5 |
6 |
110 |
6 |
6 |
7 |
111 |
7 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
A |
11 |
1011 |
13 |
B |
12 |
1100 |
14 |
C |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
E |
15 |
1111 |
17 |
F |
16 |
10000 |
20 |
10 |
Соответствие между десятичными, двоичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами иллюстрирует табл. 2.
1.4. Перевод чисел из системы с произвольным основанием в десятичную систему счисления
Перевод числа из системы с произвольным основанием р в десятичную систему счисления выполняется с помощью формулы разложения этого числа по степеням основания р (т. е. с помощью развернутой формы записи числа):
Aр = an–1·рn–1 + an–2·рn–2 +…+ a0·р0 + a–1·р–1+ a–2·р–2 +…+ a–m·р–m. (7)
Для перевода следует вычислить сумму числового ряда. Например:
110,1012= 1·22+ 1·21+ 0·20+ 1·2–1+ 0·2–2+ 1·2–3= 6,675;
222,223 = 2·32 + 2·31 + 2·30 + 2·3–1 + 2·3–2 ≈ 26,889;
222,224 = 2·42 + 2·41 + 2·40 + 2·4–1 + 2·4–2 = 42,625;
222,228 = 2·82 + 2·81 + 2·80 + 2·8– 1+ 2·8–2 ≈ 146,281;
222,2216 = 2·162 + 2·161+ 2·160 + 2·16–1 + 2·16–2 ≈ 546,133.
1.5. Быстрый способ перевода чисел с помощью устного счета
Идея этого способа заключается в том, что если к целому числу справа приписать ноль, то число увеличивается вдвое (см. п. 1.3.2); если приписать единицу, то число увеличивается вдвое плюс единица. Например, было число 1012 = 510. Если к числу 1012 приписать справа ноль, то получим: 10102 = 1010. Если к числу 1012 приписать справа единицу, то получим: 10112 = 1110. Алгоритм рассмотрим на примере перевода: А2 = 110101,011012.
Для перевода целой части двоичного числа необходимо поочередно открывать разряды двоичного числа:
1; 1·2 + 1 = 3; 3·2 = 6; 6·2 + 1 = 13; 13·2 = 26; 26·2 + 1 = 53.
С дробной частью поступают аналогично:
1; 1·2 + 1 = 3; 3·2 = 6; 6·2 + 1 = 13.
Дробная часть числа состоит из пяти цифр. Пятый разряд после запятой имеет вес 32, поэтому дробная часть равна 13/32 = 0,40625.
Ответ: А10 = 53,40625.