ТР-ДУ

f (x) e x P (x)cos x Q

(x)sin x ,

(6)

n

m

используется метод неопределенных коэффициентов (через Pn (x)

и Qm (x)

~

e

x

Rl (x)cos x Sl (x)sin x x

k

,

y

где Rl (x),

Sl (x) – многочлены степени l с неопределенными коэффициентами;

l max m,

n ; k – кратность, с которой числа i совпадают с корнями ха-

рактеристического уравнения (при = 0 рассматривается одно число ).

П Р И М Е Р

7 .

Решить ДУ y 4y cos 2x .

~

Р Е Ш Е Н И Е .

Общее решение имеет вид y y

y .

1). Найдем

y

. Для этого рассмотрим уравнение

y 4y 0 . Составим ха-

рактеристическое уравнение

2 4 0, 1 2i, 2 2i

y

C1 cos 2x C2 sin 2x .

~

2). Найдем y . Для этого рассмотрим уравнение y 4y cos 2x .

Так как

f (x) e x Acos x Bsin x e0x 1cos x 0sin x , то частное

решение ищем в виде

~

0x

1

y e

(C cos 2x Dsin 2x)x (C cos 2x Dsin 2x)x k 1 ,

( i = 0

2i = 2i и являются корнями характеристического уравнения по

одному разу).

Найдем

~

~

y C cos 2x 2Cxsin 2x Dsin 2x 2Dxcos 2x;

4C sin 2x 4Cxcos 2x 4Dcos 2x 4Dxsin 2x .

y

~

~

~

Подставим y ,

y ,

y в уравнение и получим тождество

sin 2x

4C 0,

C 0,

cos 2x

4D 1,

D 1/ 4.

~

1

1

y

0cos 2x

sin 2x x,

y C1 cos 2x C2 sin 2x

xsin 2x .

4

4

Это и есть общее решение данного ДУ.

П Р И М Е Р

8 .

Решить

задачу

Коши

y 2y ex (x2 x 3),

y(0) 2,

y (0) 2 .

~

Р Е Ш Е Н И Е .

Общее решение имеет вид

y y y .

1). Найдем

y

. Для этого рассмотрим уравнение

y 2y 0 . Составим ха-

рактеристическое уравнение

2 2 0, 0,

2

2

y

C C

e2x .

~

1

1

2

x

(x

2

x 3) .

2). Найдем y . Для этого рассмотрим уравнение y 2y e

Частное решение будем искать в виде

~

e

x

(Ax

2

Bx C) .

y

Найдем

~

e

x

(Ax

2

(B 2A)x C B) ;

~

y

x

(Ax

2

(B 4A)x C 2B 2A) .

y e

~

~

~

в уравнение и получим тождество

Подставим y ,

y ,

y

систему

x2

1 A 2A,

A 1,

x

1 B 4A 2B 4A,

B 1,

x0

3 C 2B 2A 2C 2B,

C 1.

Отсюда частное решение

x

x 1 .

~

e

x

2

y

Используя

общее

решение

y C1 C2e2x ex x2 x 1 ,

y 2C2e2x ex x2 3x и условия задачи Коши, приходим к системе

C1 C2 1,

C2 1.

C y

C y

0,

1

1

2

2

f (x).

C1 y1

C2 y2

П Р И М Е Р

9 .

Решить ДУ y y cos x .

Р Е Ш Е Н И Е .

Решаем

соответствующее

однородное уравнение:

y y 0, 2

1 0,

1, 2

i ,

y

C1 cos x C2 sin x . Так как в данном слу-

чае y1 cos x,

y2

sin x,

cos x , то имеем

y1 sin x,

y2

C cos x C sin x 0,

1

2

C1 sin x C2 cos x cos x.

Откуда

0

sin x

C1

cos x

cos x

sin x cos x,

cos x

sin x

sin x

cos x

cos x

0

C2

sin x

cos x

cos2 x,

cos x

sin x

sin x

cos x

C1 sin xcos x dx

sin2 x

D1

,

2

C2 cos

2

x dx

1 cos 2x

x

sin 2x

dx

D2 .

2

2

4

y D cos x D

sin x

sin2

xcos x

xsin x

sin 2xsin x

1

2

2

2

4

D

cos x D sin x xsin x / 2 .

1

2

~

y

y

З А Д А Н И Е

4 .

Н о р м а л ь н ы е с и с т е м ы л и н е й н ы х

y

3y2 y1 y2 y1

4y2 .

(7)

y1

2

y1

y1 4y1 4y1,

y1 4y1 4y1 0,

2 4 4 0 1 2 2,

y e 2x (C C

x);

1

1

2

y e 2x (C C

x);

1

1

2

y

2

e 2x (C

2

C C

x).

1 2