Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТР-ДУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

438.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

3.11.

а)

y 2y 6; y(0) 1, y (0) 0 ;

б) y 2y 2y

ex sin x

3.12.

а)

y y 4xcos x; y(0) 0, y (0) 1;

б) y

e x

3.13.

а)

y 6y 9y e3x ;

y(0) 1,

y (0) 0 ;

б)

y y tgx .

3.14.

а)

y 3y x cos x;

y(0) 0,

y (0) 1/ 9 ;

б)

y y cos2 x .

3.15.

а)

y 2y 5y 10sin x; y(0) 2, y (0) 1;

б) y 4y 4y

e 2x

x 1

3.16.

а)

y y 5e x (sin x cos x);

y(0) 4,

y (0) 5 ;

б)

y y 1/ sin x .

3.17.

а)

y y 2cos x;

y(0) 1, y (0) 0 ;

б)

y y e2x cos ex .

3.18.

а)

y 2y y x sin x; y(0) y (0) 0 ;

б)

y y

1 ex

3.19.

а)

y 4y 4y 2(sin 2x x);

y(0) 0, y (0) 1;

б) y

y 1 ex .

3.20.

а)

y y 2 2x;

y(0) 0, y (0) 1;

б)

y y ctgx .

3.21.

а)

y 4y 2cos 2x;

y(0) 1, y (0) 3;

б) y 2y y

e x .

3.22.

а)

y 9y 12sin 3x;

y(0) 2, y (0) 1;

б) y

1 ex .

3.23.

а)

y y e x ; y(0)

1, y (0)

б) y 2y y x ex .

3.24.

а)

y 6y 9y 9x2 12x 2; y(0) 1,

y (0) 3;

б)

y y ctg2x .

3.25.

а)

y y ex ; y(0) 1,

y (0) 1,5 ;

б)

y 4y 5y e2x / cos x .

3.26.

а)

y 4y 4y 2e2x ;

y(0) y (0) 0 ;

б)

y y 2 / sin3 x .

3.27.

а)

y 2y y x 4;

y(0) 0, y (0) 1;

б)

y y 1/ cos x .

3.28.

а)

y y 5x2;

y(0) 0, y (0) 6 ;

б) y 2y y

4 x2

3.29.

а)

y 9y 36e3x ;

y(0) 2,

y (0) 6 ;

б)

y 4y ctg2x .

3.30.

а)

y y 2(x 1);

y(0) 2,

y (0) 2 ;

б) y

y x2 1 .

ЗАДАНИЕ № 4

НОРМ АЛЬНЫЕ СИСТЕМ Ы ЛИНЕЙНЫХ О Б ЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВ НЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Найти общие решения систем дифференциальных уравнений методом исключения.


4.1.	x 2x 3y;	x x y 2sin t;
4.1.	а)	б)
	y x.	y 2x y.

4.2.	x 2x 2y;	x 2x y;
4.2.	а)	б)
	y x 3y.	y y 2x 18t.

4.3.	x 3x 8y;	x 2y x;
4.3.	а)	б)
	y x 3y.	y x 5sin t.

x 2x y;

4.4.а) y 3x 4y.

x x 2y;

4.5.а) y 4x 3y.

x x y;

4.6. а)

y 4x y.

x x y;

4.7.а) y 2x.

x 2x y;

4.8.а) y x 4y.

x y;

4.9.а) y x.

x x 8y;

4.10.а) y x y.

x x 2y;

4.11.а) y x.

x 2x 6y;

4.12.а) y x y.

x 7x 2y;

4.13.а) y 9x 2y.

x 7x 3y;

4.14.а) y 6x 2y.

x x 3y;

4.15.а) y 2x 2y.

x 2x 3y;

4.16.а) y 6x 7y.

x y;

4.17. а)

y 3x 2y.

x 2x 4y;

б)

y x

;

б) x y

y x

x y 5cos t;

б)

y 2x y.

;

x 2x y

б)

y 2x 2t;

x 2x y;

б)

y x

;

x 3x 2y 4e

б)

y x 2y.

x 2y x 1;

б)

y 3y 2x.

x y 1;

б)

y x tgt.

;

б) x x y

y x

y e

x x y 8t;

б)

y 5x y.

x 2x y;

б)

y x

x 2x y 8;

б)

y 6y.

;

б) x 2x y

y x

x 2x y;

б)

sin t.

y 2y x


4.18.	x 7x 2y;	x 4x 3y sin t;
4.18.	а)	б)
	y 9x 2y.	y 2x y 2cos t.

4.19.	x 2x 3y;	x 2x 3y;
4.19.	а)	б)
	y 2x y.	y x 2y 2sin t.

4.20.	x y;	x x y 1/ cos t;
4.20.	а)	б)
	y x.	y 2x y.

4.21.	x 2x 6y;	x y 2cost;
4.21.	а)	б)
	y x y.	y x.

4.22.	x 5x 3y;	x 2x 4y 1 4t;
4.22.	а)	б)	3t	2	/ 2.
	y x y.	y x y	3t		/ 2.

4.23.	x 2x 6y;	x 2x 5y cos t;
4.23.	а)	б)
	y 3x 7y.	y x 2y sin t.

4.24.	x x 2y;	x x y t;
4.24.	а)	б)
	y 3x 4y.	y 4x 3y 2t.

4.25.	x 6x 10y;	x y cos t;
4.25.	а)	б)
	y x y.	y 3x 4y 4cos t sin t.

4.26.	x x y;	x 2cos t 2x 3y sin t;
4.26.	а)	б)
	y 3x 5y.	y x cos t.

4.27.	x 2x 3y;	x 2x 4y;
4.27.	а)	б)			2	.
	y x.	y x 3y 3t				.

4.28.	x y;	x x y t 1;
4.28.	а)	б)
	y 4x.	y 4x y 4t 5.

4.29.	x 6x 2y;	x y t;
4.29.	а)	б)
	y 5x y.	y x t.

4.30.	x 4x 8y;	x 2x y sin t;
4.30.	а)	б)
	y 2x 6y.	y 4x 2y cos t.

М ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИ Я К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Рассмотрим основные методы решения некоторых типов дифференциальных уравнений (ДУ). Основные понятия и определения приведены в учебнике [6] или пособиях [2–4].

З А Д А Н И Е 1 .

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я п е р в о г о п о р я д к а

ДУ называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид

y p(x)y q(x) ,

(1)

где p(x), q(x) C . Если q(x) 0 , то уравнение (1) называют линейным одно-

родным. ДУ (1) решается с помощью подстановки Эйлера-Бернулли
	y uv ,	(2)
где u u(x),	v v(x) . Идея подстановки (2) состоит в том, что одна из функ-

ций, (например, v) выбирается так, чтобы относительно и получилось наиболее простое уравнение (с разделяющимися переменными). С помощью такой же подстановки решается уравнение Бернулли, которое имеет вид

y p(x)y q(x)yn , n R .

П Р И М Е Р	1 . Решить ДУ y 2xy xe x2 .
Р Е Ш Е Н И Е .	Это линейное уравнение. С помощью подстановки y uv
получаем
		x2			x2
u v uv 2xuv xe			u v u(v 2xv) xe		.

				0

Выберем функцию v(х) из условия, что v 2xv 0 . Тогда уравнение распадается на систему двух более простых уравнений, решая которые, получим

2xdx

2xv 0

ln v x

v e

du xdx

u v xe

u x

/ 2 C

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

x2			x2
y		C e	.

	2

П Р И М Е Р 2 . Решить ДУ	xy 4y x2				.
				y

Р Е Ш Е Н И Е .

Это уравнение Бернулли.

С помощью подстановки

y uv

получаем

4uv

4v) x

xu v xuv

xu v u(xv

ln v 4ln x

v x4

xv 4v 0

x u

du dx

xu v x

2 u ln

C y

C x4 .

ДУ в полных дифференциалах имеют вид

M (x, y)dx N(x, y)dy 0 ,

(3)

где левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y) , т. е.

du M (x, y)dx N(x, y)dy .

Для того, чтобы уравнение (3) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия

Общий интеграл ДУ (3) имеет вид

u(x,

y) C

или M (x, y)dx N(x, y)dy C .

П Р И М Е Р

3 . Найти решение ДУ

y cos x x2 dx sin x 2y dy 0 .

Р Е Ш Е Н И Е . Имеем y cos x x2 dx sin x 2y dy 0 ,

cos x,

cos x

уравнение в полных дифференциалах. Далее строим функцию u(x, y)

u y cos x x2x

u ycos x x2 dx (y) ysin x

(y) ,

где (x) – функция, подлежащая определению.

Из последнего равенства найдем

sin x (y) .

Сравнивая это выражение с N(x, y), найдем (x) :

( y) y

C .

( y) 2y

Окончательно общий интеграл имеет вид

u ysin x

y sin x

C .

f (x, y) . Функция

Введем понятие об однородной функции двух переменных

f (x, y) называется однородной, если для любого

t R , отличного от нуля,

выполняется условие

f (tx, ty) tm f (x, y),

t R,

t 0 .

(1)

Число m называется показателем однородности.

Поскольку в (1) t – любое действительное число, то, положив t 1 , получа- x

ем

f (1,	y / x)	1	f (x, y) ,
		xm
т. е.

f (x,	y) xm f (1, y / x) .

Таким образом, однородная функция двух переменных может быть пред-

ставлена в виде произведения степенной функции xm и функции одной переменной y / x .

ДУ первого порядка

M (x, y)dx N(x, y)dy 0

называется однородным, если М (х, у) и N (х, у) – однородные функции с одним и тем же показателем.

Однородные ДУ решаются с помощью подстановки

			z	y	.
			z		.
		xy		x
П Р И М Е Р 4 .	y	xy	.
П Р И М Е Р 4 .	y	x2 y2	.
		x2 y2

Р Е Ш Е Н И Е . Проверяем на однородность

tx ty

m 0 .

(tx)2 (ty)2

x2 y2

С помощью подстановки z

имеем

x2 z

z xz

z z z

x2 x2 z2

1 z2

dz ln x ln C

1 z2

dz ln(Cx)

ln z

ln Cx

ln(Cxz)

2z2

e x2 / 2 y2

Cy .

З А Д А Н И Е

2 .

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я

в ы с ш и х п о р я д к о в ,

д о п у с к а ю щ и е

п о н и ж е н и е п о р я д к а

Среди ДУ n-ого порядка вида

F x,

(n)

0 ,

(4)

y ,

y , ...,

интегрирование которых возможно лишь в некоторых частных случаях, отметим такие, порядок которых можно понизить.

Общее решение уравнение вида y(n) f (x) получается n-кратным интегрированием.

П Р И М Е Р 4 . Найти общее решение ДУ y x 2cos x .

Р Е Ш Е Н И Е .

y (x 2cos x) dx

2sin x C1 ;

2sin x C1

2cos x C1x C2 ;

2sin x

x C

Если уравнение (4) явно не содержит искомую функцию и ее производные до порядка k – 1 включительно, то порядок такого ДУ можно понизить на k единиц

введением новой неизвестной функции p(x) y(k ) (x) .

П Р И М Е Р	5 . Решить ДУ 1 x2 y y 2		1 0 .
Р Е Ш Е Н И Е .	После замены y p,	y p	имеем

1 x2 p p2 1 0 .

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно функции р(х) и ее производной p (x) :

dp	dx	0	arctg p arctg x arctgC1 ,
p2 1	x2 1	0	arctg p arctg x arctgC1 ,
arctg p arctgC arctg x				p	C1 x	.
arctg p arctgC arctg x				p		.
		1		1 C1x
				1 C1x

Учитывая, что р(х) = y , получаем для y(x) уравнение первого порядка

y C1 x , 1 C1x

C1 x

C1 1/ C1

y 1 C x dx

1 C x

C 1/ C

1 C x

Уравнение вида

(n)

0 , не содержащее явно переменную

F y, y , y

, ..., y

х, допускает понижение порядка на единицу путем замены

, y

y (x) p(y), y (x) p

(x) p

и т. д.

П Р И М Е Р

6 . Найти общее решение ДУ

2y y 1 y 2 .

Р Е Ш Е Н И Е .

Имеем y p( y),

p 1 p2,

2 p dp

ln(1 p2 ) ln y ln C ,

1 p2

1 p2 C1 y,

C1 y 1, y C1 y 1 .

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

dx,

C y 1

x C

C y 1

4					1		(x C )2 C2
	(C y 1) (x C		)2	y		1	1 1	.
C2	(C y 1) (x C		)2	y	C	1	4	.
C2	1	2			C		4
1					1
		З А Д А Н И Е			3 .

Л и н е й н ы е о б ы к н о в е н н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я n - о г о п о р я д к а

с п о с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и

Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) называется уравнение вида

y(n) p1y(n 1) ... pn y 0 ,

где p1, ..., pn и f (x) – заданные функции от х или константы. Общее решение ЛОДУ имеет вид

yCi yi ,

где y1, y2 , ..., yn – линейно независимые частные решения, С1, С2, …, Сn –

произвольные постоянные.

Для определения частных решений уравнения следует решить характеристическое уравнение

n p n 1	... p	p	n	0 .	(5)
1		n 1	n

При решении квадратного уравнения, которое является характеристическим для ДУ второго порядка, возможны три случая.

1. Корни уравнения (5) 1 и 2 R , причем 1 2 .

Тогда частные решения y1 e 1x , y2 e 2 x линейно независимы и общее решение имеет вид

y C1e 1x C2e 2 x .

2. Корни уравнения (5) 1 и 2 R , причем 1 2 . В этом случае y1 e 1x , y2 xe 1x . Общее решение имеет вид

ye x (C1 C2x) .

3.Корни уравнения (5) являются мнимыми: 1, 2 i ( 0) , частные

решения y e x cos x, y	2	e x sin x .
1	2

Общее решение можно записать в виде

y e x (C1 cos x C2 sin x) .

ДУ вида

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025226.3 Кб3ТНК ремонт токоприемника +.doc
#
26.08.20191.29 Mб15тоат курсовой.docx
#
26.04.2019210.43 Кб6тоау.doc
#
09.04.2015245.29 Кб30ТОЭ ответы.docx
#
09.04.2015223.83 Кб26ТОЭ3Кадыров.Т.rtf
#
09.04.2015438.19 Кб19ТР-ДУ.pdf
#
27.08.20191.65 Mб13ТР-ТВ.doc
#
01.05.20251.4 Mб2транзитная 4 переменный о е.doc
#
01.04.20251.16 Mб7транспортная психология.doc
#
09.04.2015609.28 Кб36Транспортная система Оренбургской области.doc
#
15.03.201669.82 Кб22транспортное право.docx