3366
.pdf3366 |
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра «Механика»
П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А
Задания и методические указания к выполнению контрольной работы № 1 для студентов специальности 190401.65 «Эксплуатация железных дорог» заочной формы обучения
Составители: В. В. Фёдоров М. С. Жарков Ю. К. Мустафаев
Самара
2013
1
УДК 620.10
Прикладная механика : задания и методические указания к выполнению контрольной работы № 1 для студентов специальности 190401.65 «Эксплуатация железных дорог» заочной формы обучения / составители : В.В. Фёдоров, М. С. Жарков, Ю. К. Мустафаев. – Самара : СамГУПС, 2013. – 23 с.
Методические указания к выполнению контрольной работы № 1 составлены в соответствии с программой курса «Прикладная механика» для студентов специальности 190401.65 «Эксплуатация железных дорог» заочной формы обучения.
В методических указаниях содержатся основные теоретическое сведения из раздела «Сопротивление материалов» дисциплины «Прикладная механика». Рассмотрены примеры решения задач. Приведены исходные данные и указания по выбору варианта заданий для выполнения контрольной работы.
Утверждены на заседании кафедры 19.11.2013 г., протокол № 4. Печатаются по решению редакционно-издательского совета СамГУПС.
Составители: Фёдоров Виктор Васильевич Жарков Михаил Сергеевич Мустафаев Юрий Кямалович
Рецензенты: д.т.н., профессор, зав. кафедрой«СДМиТМ» СамГУПСВ.Н. Самохвалов; к.т.н., профессор кафедры «Механика» СамГУПС В. В. Янковский
Редактор И.А. Шимина Компьютерная верстка: Е.А. Самсонова
Подписано в печать 28.12.2013. Формат 60×90 1/16. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 200 экз. Заказ 277.
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2013
2
Основные требования к выполнению контрольной работы и указания к выбору варианта
Настоящие методические указания предназначены для выполнения контрольной работы № 1 по дисциплине «Прикладная механика» (раздел: «Сопротивление материалов») в соответствии с рабочей программой дисциплины студентами заочной формы обучения специальности 190401 «Эксплуатация железных дорог» (ПК-19), а также могут быть использованы студентами очной формы обучения специальностей 190401 «Эксплуатация железных дорог», 140400 «Электроэнергетика и электротехника» и 190901 «Системы обеспечения движения поездов» при решении задач и самостоятельной подготовке к экзамену и зачёту.
Студенты заочной формы обучения выполняют три задачи. Номер расчётной схемы выбирают по последней цифре шифра студента, а вариант числовых значений исходных данных – по предпоследней цифре шифра. Если соответствующая цифра шифра – ноль, то принимается десятый номер расчётной схемы или вариант исходных данных соответственно.
В методическом указании каждая задача содержит: теоретическую часть с исходными данными, указания к решению и пример расчёта.
Контрольная работа может выполняться в ученической тетради или на листах писчей бумаги формата А4 как в рукописном, так и в машинописном варианте исполнения с оформлением титульного листа. При построении расчётных схем и эпюр необходимо придерживаться принятого масштаба построения.
Краткие теоретические сведения по разделу: «Сопротивление материалов»
1. Внешние и внутренние силы
Сила является мерой механического взаимодействия тел. В сопротивлении материалов решаются вопросы расчета конструкций или элементов конструкции на прочность, жесткость и устойчивость, при этом используются такие понятия, как внешние и внут-
ренние силы.
Внешние силы или пары сил (моменты) рассматриваются как нагрузки на элементы конструкции (или детали машины), действующие со стороны других объектов. Под действием нагрузок элемент конструкции в той или иной мере изменяет свою форму и размеры, т.е. деформируется. Нагрузки в расчетных схемах схематизируются как сосредоточенные силы (моменты) или распределенные с заданной интенсивностью q. Следует отметить, что нагрузки всегда распределены либо по длине, либо по площади и могут быть приняты в расчетной схеме как сосредоточенные только в том случае, если участок их действия значительно меньше размеров объекта расчета.
3
Внутренние силы – это силы, возникающие внутри материала элемента конструкции под действием нагрузок. Внутренние силы рассматриваются как силы взаимодействия между частями тела, нагруженного внешними силами и, по сути, характеризуют силы межатомарного взаимодействия.
Определение внутренних сил является одной из основных задач при определении прочности элемента конструкции или детали машины.
2. Метод сечений. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении
Рассмотрим метод сечений для определения внутренних сил в любом поперечном сечении стержня, нагруженного какой-либо системой внешних сил Р1, Р2, ………Рn , находящегося в равновесии (рисунок 1, а.).
Мысленно рассечем стержень в любом месте плоскостью, перпендикулярной оси стержня, разделив его, таким образом, на две части. Отбросим левую часть стержня и рассмотрим условия статического равновесия оставшейся правой части (рисунок 1, б). Действие левой части стержня на правую заменим системой внутренних сил R, которые каким-либо образом распределены по рассматриваемому сечению.
Рисунок 1
По правилам статики приведем систему внутренних сил в поперечном сечении (рисунок 1, б) к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор Rвн и глав-
4
ный момент M вн внутренних сил (рисунок 1, в). Выберем систему координат ХYZ с началом в точке О и разложим главный векторRвн и главный момент M вн по осям Х, Y, Z. Получим шесть составляющих, которые называют внутренними силовыми факторами в поперечном сечении стержня (рисунок 1, г). Каждый из шести силовых факторов имеет свое название и общепринятое обозначение. Внутренняя сила Nх называется продольной силой в сечении. Силы Qу и Qz поперечными силами. Момент Мх (или Т) относительно оси стержня называют крутящим моментом в сечении. Моменты Мy и Мz относительно осей Y и Z называют изгибающими моментами.
Внутренние силы характеризуют механическое взаимодействие правой и левой частей стержня и, по принципу равенства действия и противодействия, всегда взаимны. Правая часть действует на левую точно так же, как и левая на правую, поэтому, система внутренних сил в том же сечении левой части обратна только по знаку системе сил, действующих на правую часть стержня.
Следовательно, в сечении левой части стержня действуют такие же, как и в правой части, шесть внутренних силовых факторов, но противоположного направления.
Если внешние силы заданы, то все шесть внутренних силовых факторов в поперечном сечении определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части стержня – правой или левой, результат будет тот же.
Шесть уравнений статики для определения внутренних силовых факторов:
∑ Х = 0; ∑ Y = 0; ∑ Z = 0; ∑ Мх = 0; ∑ Му = 0; ∑ Мz = 0.
Все шесть указанных выражений представляют собой простейшие алгебраические уравнения с одним неизвестным в виде одного из шести внутренних силовых факторов Nх, Qу, Qz, Мх, Му, Мz, которые для любого поперечного сечения стержня вычисляются следующим образом:
1)продольная сила Nx равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону сечения на центральную ось X стержня;
2)поперечная сила Qу равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения на главную центральную ось Y сечения;
3)поперечная сила Qz равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения на главную центральную ось Z сечения;
4)крутящий момент Мх = Т равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центральной оси X стержня;
5)изгибающий момент Му равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно главной центральной оси Y данного сечения;
6)изгибающий момент Мz равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно главной центральной оси Z данного сечения.
5
В зависимости от величины и характера действующих внешних сил в поперечных сечениях стержня может возникнуть только по одному силовому фактору Nx (растяжение или сжатие) или Мх (кручение), или два: Qу и Мz (в случае поперечного изгиба), а остальные будут равны нулю. Чем больше силовых факторов возникает в поперечном сечении, тем более сложное сопротивление испытывает стержень.
3. Напряжение. Условие прочности
Внутренние силовые факторы представляют собой статические эквиваленты внутренних сил в виде сосредоточенных сил или моментов, возникающих в сечении стержня. Оценка прочности элемента конструкции или его материала по внутренним силовым факторам не может быть достаточной, так как при их определении не учитываются размеры сечений и характер распределения по ним внутренних сил. Поэтому пользуются характеристикой внутренних сил, называемой напряжением, которая позволяет учитывать размеры сечения и распределение внутренних сил.
Напряжение – это мера интенсивности внутренних сил в точке.
Рассмотрим произвольное сечение стержня, нагруженного силами Р1, Р2, Р3 … Pi (рисунок 2). В этом сечении возникают внутренние силы, каким-либо образом распределенные по площади сечения.
Рисунок 2 |
|
||
В окрестностях некоторой точки К выделим элементарную площадку S. |
Пусть |
||
R – равнодействующая всех внутренних сил, |
действующих на S. Уменьшаем |
S до |
|
нуля, стягивая площадку до точки К, в пределе получим: |
|
||
р = lim |
R |
= dR , |
|
S→0 |
S |
dS |
|
где р – полное напряжение в точке К. Таким образом, получим:
6
|
σ = lim |
N |
= dN |
, |
|
|
S→0 |
S |
dS |
|
|
где σ – нормальное напряжение; |
N – нормальная составляющая |
R (см. рисунок 2,а); |
|||
|
τ = lim |
T |
= dT |
, |
|
|
S→0 |
S |
dS |
|
|
где τ – касательное напряжение; |
Т – касательная составляющая |
R (см. рисунок 2, а). |
|||
Полное напряжение р в точке К, как векторная величина, может быть представлено
ввиде составляющих: нормального напряжения σ и касательного напряжения τ, которое,
всвою очередь, может быть представлено в виде τху и τxz (рисунок 2, б).
Скалярная величина полного напряжения
р = 
σ2 + τ2 = 
σ2 + τ2ху + τ2хz .
Разложение полного напряжения р на нормальное σ и касательное τ имеет особый смысл при расчетах на прочность. Нормальные напряжения возникают, когда внутренние силы стремятся сблизить или удалить отдельные частицы тела по направлению нормали к плоскости сечения, а касательные – когда внутренние силы стремятся сдвинуть одни частицы тела относительно других параллельно плоскости сечения. Практика показывает, что материалы сопротивляются нормальным и касательным напряжениям различным образом.
Если через точку К (рисунок 2) провести какое-либо другое сечение (и выделить новые площадки), то в этой точке будет другое полное напряжение р и другие соответствующие ему σ и τ.
Вырезав вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, по его граням, в общем случае, можно показать действующее напряжение на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку (рисунок 3).
Совокупность напряжений на всех площадках, которые можно провести через любую точку нагруженного тела, называется напряженным состоянием в данной точке.
Если по граням кубика действуют только нормальные напряжения (касательные равны нулю), то такие напряжения называются главными, а площадки, на которых они действуют, называются главными площадками. В теории сопротивления материалов доказывается, что в каждой точке нагруженного тела существуют три главные взаимно перпендикулярные площадки. Главные напряжения на них обозначают σ1, σ2 и σ3 (см. рисунок 4), при этом соотношение их по алгебраической величине, соответственно:
σ1 > σ2 > σ3.
Различные виды напряженного состояния характеризуются числом возникающих главных напряжений в точке тела. Если все три главных напряжения не равны нулю, то напряженное состояние называется объемным или трехосным (рисунок 4). Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряженное состояние называется плоским или двухосным. Если равны нулю два главных напряжения, то напряженное состояние назы-
вается линейным или одноосным.
7
Рисунок 3 Рисунок 4
Любопытно, что, зная все напряжения на каких-либо трех взаимно перпендикулярных площадках (рисунок 3), можно с помощью несложных аналитических зависимостей определить такие же напряжения на любых других трех взаимно перпендикулярных площадках, в том числе и на главных площадках, проходящих через одну и ту же точку. Доказывается, что наибольшее и наименьшее по абсолютной величине нормальные напряжения σmax и σmin в точке развиваются на главных площадках. Т.е. для случая объемного напряженного состояния, изображенного на рисунке 4, σmax = σ1, σmin= σ3, а наибольшее касательное напряжение τmax развивается на площадках, находящихся под углом 45° к главным.
Зная напряженное состояние в любой точке элемента конструкции, можно оценить его прочность. В случае линейного и, в некоторых случаях, плоского напряженного состояния условие прочности можно записать в виде:
σmax ≤ [σ] или τ max ≤ [τ],
где σmax и τ max – максимальные нормальное и касательное напряжения, которые рассчитываются по действующим силовым факторами и геометрическим характеристикам сечения стержня, испытывающего тот или иной вид деформации (как это делается – будет рассмотрено далее); [σ] и [τ] (σаdm и τаdm – международное обозначение) – допускаемые значения нормального и касательного напряжений, которые обычно определяются следующим образом:
[σ] = σпр / [n] и [τ] = τпр / [n],
где σпр и τпр – предельные напряжения, при достижении которых происходит разрушение материала элемента конструкции или утрата его работоспособности;
[n] (nadm) – нормируемый коэффициент запаса прочности.
Предельные напряжения определяются экспериментально, например, при испытании образцов на разрыв или сжатие, срез и т.д. При статическом нагружении элементов конструкции из пластических материалов обычно принимают:
8
σпр = σТ,
где σТ (σе) – предел текучести; а для хрупких материалов:
σпр = σв,
где σв (σu) – предел прочности.
Нормируемый коэффициент запаса прочности [n] вводится для учета возможных неблагоприятных отклонений свойств материала, условий работы конструкции, его величина назначается с учетом опыта эксплуатации сооружений и машин.
В более сложных случаях плоского напряженного состояния или при объемном нагружении оценка прочности производится по эквивалентному напряжению σэкв (σred) в соответствии с той или иной теорией прочности.
ЗАДАЧА № 1. Расчёт стержня при центральном растяжении или сжатии
Центральным растяжением или сжатием называют такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только один силовой фактор – продольная сила Nх, линия действия которой совпадает с центральной осью стержня.
Применяя метод сечений, можно определить величину продольной силы в рассматриваемом поперечном сечении как алгебраическую сумму всех внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от сечения. При этом сила считается положительной, если она направлена от сечения и вызывает деформацию растяжения и отрицательной, если она направлена к сечению и вызывает деформацию сжатия.
Для определения необходимых размеров поперечного сечения стержня используем условие прочности при центральном растяжении (сжатии):
σmax = NS ≤ [σ].
Принимаем допускаемое напряжение на сжатие равным допускаемому напряжению на растяжение. В этом случае условие прочности принимает следующий вид:
σmax = |
|
|
Nmax |
|
|
≤ [σ], |
|
|
|||||
|
|
S |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где |Nmax| – максимальная величина продольной силы по модулю; S – площадь поперечного сечения.
Тогда: |
S ≥ |
|
Nmax |
. |
|
|
|||
|
[σ ] |
Зная площадь поперечного сечения, можно определить и его размеры:
а) для круга – диаметр d = |
4 S |
; |
|
π |
|
б) для квадрата – сторону квадрата c = 
S ;
9
в) для прямоугольника S = b·h. Если соотношение b/h = 0,4 , заменяя b = 0,4·h, по-
2 |
S |
лучим S = 0,4·h , тогда h = |
0,4 . |
Полученные размеры d, c, b и h округляем в большую сторону до целого числа. Для определения величины абсолютной упругой деформации стержня используем
зависимость:
lΣ = ∑ li = ∑ Nxi li , E Si
где Nxi – величина продольной силы на i-м участке стержня; li – длина i-го участка стержня; Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга) – постоянная величина для каждого материала (для сталей Е = 2·105 МПа); Si – площадь поперечного сечения участка стержня с учетом полученных округленных значений d, с, b и h.
Указания к решению задачи № 1
Для заданной расчетной схемы (рисунок 5) необходимо выполнить следующее:
1)построить эпюру изменения продольной силы N(x) по длине стержня;
2)определить размеры поперечного сечения из условия прочности на растяжение (сжатие), округлить полученные размеры до целого числа;
3)определить напряжения в поперечных сечениях стержня и построить эпюру их изменения по длине стержня;
4)определить абсолютную упругую деформацию стержня, приняв Е = 2,1×105 МПа.
Рисунок 5
10