3366

Пример решения задачи № 1

Исходные данные:

P1 = 10 кН

P2 = 15 кН a = 0,3 м b = 0,2 м

[σ] = 200 МПа форма сечения – квадрат

Стержень закреплен жёстко одним концом и к нему приложены две внешние силы P1 и P2, направление которых и точки их приложения совпадают с продольной осью стержня.

Стержень состоит из двух участков. Обозначим их, начиная с закрепленного конца, цифрами I и II.

1. Проведём на участке I произвольное сечение и рассмотрим равновесие правой отсеченной части:

NI = P1 − P2 = 10 − 15 = −5 кН.

Знак перед числом говорит о том, что участок испытывает деформацию сжатия.

11

Проведём произвольное сечение на участке II. Определим нормальную (продольную) силу NII:

NII = P1 = 10 кН.

Данный участок испытывает деформацию растяжения.

Строим эпюру изменения продольной силы N(x) по длине стержня под расчетной схемой с соблюдением масштаба.

2. Определим размеры поперечного сечения из условия прочности при растяжении (сжатии):

=8 мм. Тогда площадь поперечного сечения стержня будет равна S = c2 = 82 = 64 мм2.

3.Определим напряжения в поперечных сечениях стержня на обоих участках:

Условие прочности выполняется.

Строим эпюру изменения напряжения растяжения (сжатия) по длине стержня под эпюрой продольной силы с соблюдением масштаба.

4. Определим абсолютную упругую деформацию стержня l = ΣΔli, в нашем случае

таким образом, суммарная абсолютная упругая деформация стержня равна: l = a + b = 0,223 мм − 0,074 мм = 0,149 мм.

12

Ответ: c = 8 мм

σI = −78,1 МПа σII = 156,2 МПа l = 0,149 мм.

ЗАДАЧА № 2. Расчёт балки на прочность по нормальным напряжениям

Изгибом называют такой вид деформации бруса (стержня), при котором в поперечных сечениях возникает внутренний силовой фактор – изгибающий момент Ми. Брус, испытывающий деформацию изгиба, называется балкой.

Кроме изгибающего момента в поперечных сечениях балки могут возникать поперечные силы Q , в этом случае изгиб называют поперечным.

Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором (Q = 0), то изгиб называют чистым.

Если линии действия всех сил и пар сил (моментов), приложенных к балке, находятся в одной плоскости, совпадающей с главной центральной осью поперечного сечения (ось симметрии сечения, проходящая через его центр тяжести), то такой изгиб называют прямым или плоским (что имеет место в нашем случае), в противном случае изгиб называют косым.

При определении реакций в опорах двухопорных балок, нагруженных только поперечными силами, принимаем ΣХ ≡ 0 (см. рисунок 6).

Рисунок 6

Таким образом, имеем две неизвестных по величине реакции RA и RВ, которые определяем, составляя два уравнения:

ΣM(A) = 0;

ΣM(B) = 0;

откуда находим, соответственно, RB и RA. Для проверки найденных величин используем уравнение:

ΣY = 0.

13

Поперечная сила в любом сечении численно равна алгебраической сумме проекции всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось Y, при этом соблюдается правило знаков, изображённое на рисунке 7.

Рисунок 7

Изгибающий момент в любом сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения, и при этом соблюдается правило знаков, изображённое на рисунке 8.

Рисунок 8

При построении эпюр внутренних силовых факторов Q(x) и M(x) следует использовать дифференциальные зависимости

Функция поперечной силы Q(x) представляет собой производную от функции изгибающего момента M(x), благодаря чему можно найти точку экстремума функции M(x).

Рассмотрим два типичных случая построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента (см. рисунки 9 и 10).

I случай: эпюра поперечной силы не пересекает нулевую линию (рисунок 9).

В этом случае значение момента определяем не менее чем в трех точках: М(x = 0); М(x = B/2); М(x = В); и по этим значениям строим кривую М(x).

II случай: эпюра поперечной силы пересекает нулевую линию (рисунок 10).

В этом случае определим момент при М(x = 0); М(x = b), а точку, соответствующую вершине параболы, определяем, приравняв выражение Q(x) к нулю, откуда определяем значение хэкс, при котором Q(xэкс) = 0 и, подставив в выражение М(х), отмечаем точку вершины параболы М(xэкс).

14

2)составить в общем виде уравнение поперечной силы Q(х) и изгибающего момента М(х) для всех участков. Построить эпюры изменения поперечной силы Q(х) и изгибающего момента М(х) по длине балки;

3)из построенной эпюры изгибающего момента М(х) найти его максимальное по модулю значение. Из условия прочности определить размеры поперечного сечения балки

исравнить его по погонной массе с двутавром.

Рисунок 11

Таблица 2

16

Пример решения задачи № 2

Р = 5 кН М = 7 кН·м q = 4 кН/м а = 3 м

b = 6 м

[σ] = 80 МПа

1. Обозначим реакции опор RA и RВ и определим их величину, используя уравне-

ния равновесия для плоской системы сил:

∑ M (A) = 0;

M+ RB b − q a b + a − P(a + b) = 0,

2

∑ M (B) = 0;

M− RA b − q a a − P a = 0;

2

Проверка:

∑Y = 0 ;

RA + RB − q a − P = 0;

21,33 − 4,33 − 4 3 − 5 = 0 .

17

Реакции RA и RВ определены верно:

RA = −4,33 кН; RB = 21,33 кН.

Обозначим участки слева направо I и II и сделаем два произвольных сечения:

−на участке I сечение находится на расстоянии х1 от левой опоры (точка А);

−на участке II сечение находится на расстоянии х2 от точки приложения силы Р.

2. Используя правила знаков для определения поперечной силы Q(х) и изгибающего момента М(х), изложенные в указаниях к решению данной задачи, составим общие выражения Q(х) и М(х) по участкам I и II и определим их величину в соответствующих точках.

I участок 0 ≤ х1 ≤ b.

На участке I поперечная сила определяется следующим образом:

Q(x1) = RA = −4,33 кН.

Строим эпюру Q(x1) под расчетной схемой балки с соблюдением масштаба. Уравнение изгибающего момента на участке I имеет вид:

M (x1 ) = −M + RA x1 – линейное уравнение (уравнение прямой линии), поэтому для

построения эпюры достаточно знать координаты 2-х точек.

M (x1 = 0) = −M + RA 0 = −M = −7 кН м;

M (x1 = b) = −M + RA b = −7 − 4,33 6 = −32,98 ≈ −33 кН м.

Строим эпюру M(x1).

II участок 0 ≤ х2 ≤ a.

Поперечная сила:

Q(x2 ) = q x2 + P (уравнение прямой линии)

Q(x2 = 0) = q 0 + P = P = 5 кН;

Q(x2 = a) = q a + P = 4 3 + 5 = 17 кН.

Строим эпюру Q(x2) .

Уравнение изгибающего момента:

M (x2 ) = −q x2 x22 − P x2 (уравнение параболы).

Участок кривой (параболы) необходимо строить по 3-м точкам. В нашем примере эпюра поперечных сил не принимает нулевого значения, значит участок параболы не содержит ее вершину на участке II и мы находим координаты трех точек:

Строим эпюру M(x2).

3. Определяем размеры поперечного сечения (прямоугольника и двутавра), используя условие прочности:

18

I случай: прямоугольное сечение.

Момент сопротивления сечения для прямоугольника

b = 0,4·h = 0,4·183,6 =73,44. Принимаем b = 74 мм.

Искомое сечение: b×h = (74×184) мм

Определим погонную массу балки прямоугольного сечения: (0,74×1,84×10) дм3 × 7,8 кг/дм3 = 106,2 кг (7,8 кг/дм3 – плотность стали).

II случай: двутавр (ГОСТ 8239-72)

Из таблицы 3 подбираем двутавр, у которого WZ ≥ 412,5 см3. Условию удовлетворяет двутавр № 30, у которого WZ = 472 см3 > 412,5 см3 и погонная масса составляет 36,5 кг. Как видно по полученным результатам, использование балки двутаврового сечения позволяет снизить массу всей балки в 3 раза по сравнению с балкой прямоугольного сечения.

19

ЗАДАЧА № 3. Расчёт круглого прямого бруса (вала) на прочность и жёсткость при кручении

Кручением называют такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях действует один внутренний силовой фактор – крутящий момент.

Кручению подвергаются чаще всего детали цилиндрической формы (валы, торсионы и т.д.). В нашем случае рассмотрим кручение круглого прямого бруса сплошного сечения.

Применяя метод сечений, можно определить крутящий момент в любом сечении.

Величина момента равна алгебраической сумме моментов сил, расположенных по одну

сторону от сечения, при этом момент считается положительным, если при взгляде со стороны рассматриваемого сечения он направлен по часовой стрелке и отрицательным – против часовой.

Для определения размеров поперечного сечения используем условие прочности при кручении:

τmax = T ≤ [τ],

WP

где Т – крутящий момент в сечении; WP – полярный момент сопротивления сечения, для круга WP = 0,2d3; [τ] – допускаемое напряжение при кручении.

Учитывая, что прочность вала не зависит от направления крутящего момента, усло-

вие прочности при кручении принимает следующий вид:

второго рода (для стали G = 8×104 МПа); Jp – полярный момент инерции сечения (для круга Jp= 0,1d4).

Для перевода угла закручивания из радиан в градусы используем зависимость: 1рад = 3602 π° = 57,3° .

При построения эпюр углов закручивания, угол закручивания в месте заделки принимаем равным нулю.

20