6 Уравнения длинной линии как четырехполюсникаВ соответствии с (11) и (12) напряжения и токи в начале и в конце линии связаны между собой соотношениями

 ;  . Эти уравнения соответствуют уравнениям симметричного четырехполюсника, коэффициенты которого ; и ; при этом условие выполняется. Указанное означает, что к длинным линиям могут быть применены элементы теории четырехполюсников, и, следовательно, как всякий симметричный четырехполюсник, длинная линия может быть представлена симметричной Т- или П- образной схемами замещения.

7 О моделировании однородной линиицепной схемой Исследование процессов в цепях с распределенными параметрами часто осуществляется на моделях с сосредоточенными параметрами. Возможность перехода к такой модели при фиксированных параметрах C, L, R, G и длине l  определяется тем, что уравнения, связывающие входные и выходные токи и напряжения линии, представляют собой уравнения симметричного четырехполюсника и поэтому при моделировании процессов на входе и выходе линии мы можем воспользоваться одной из его схем замещения — Т-образной или П-образной , используя соотношения, связывающие параметры этих схем с параметрами пассивного четырехполюсника. Так как A-параметры линии равны A₁₁ = A₂₂ = ch l, A₁₂ = Z sh l, A₂₁ = 1/Z sh l, то для параметров Т-образной схемы найдем с помощью формул перехода к Z-параметрам: В выполненных преобразованиях учтено, что для пассивного четырехполюсника определитель _A = 1. Аналогично для параметров П-образной схемы получим: Поскольку в общем случае параметры линии Z и  являются сложными функциями частоты , то использование введенных схем ограничено исследованием процессов на фиксированной частоте, так как при переходе к другой частоте параметры схем замещения изменяются.

8 Бегущая волна — волновое движение, при котором поверхность равных фаз (фазовые волновые фронты) перемещается с конечной скоростью (постоянной для однородной среды). С бегущей волной, групповая скорость которой отлична от нуля, связан перенос энергии, импульса или других характеристик процесса^[1]. Бегущая волна - волна, которая при распространении в среде переносит энергию (в отличие от стоячей волны). Примеры: упругая волна в стержне, столбе газа, жидкости, электромагнитная волна вдоль длинной линии, в волноводе^[2]. Бегущая волна — волновое возмущение, изменяющееся во времени и пространствесогласно выражениюгде— амплитудная огибающая волны,—волновое число и —фаза колебаний. Фазовая скорость этой волны даётся выражением

где — этодлина волны. Стоячая волна является частным случаем бегущей волны с . То есть, две одинаковые периодические бегущие волны (в рамках справедливости принципа суперпозиции), распространяющиеся в противоположных направлениях, образуют стоячую волну^[1]. Характеризуется или коэффициентом бегучести волны (КБВ), или коэффициентом стоячести волны (KCB), или коэффициентом отражения Г, равным отношению амплитуд встречных волн^[1]: KCB=1/КБВ=(1+|Г|²)/(1-|Г|²) По линиям передач оптимальная передача энергии требует их согласование: получение в линии режима бегущей волны - KCB=1, Г=0. Такой режим для цепей с сосредоточенными параметрами будет соответствовать равенству внутреннего сопротивления источника сопротивлению нагрузки.

9

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Строго говоря, понятие фазы применимо только при описании гармонических или монохроматических (то есть синусоидальных cos(ϕ) или являющихся мнимыми экспонентами e^iϕ) волн, а также — приближенно — для волн близкой формы (например, почти монохроматических волновых пакетов) или легко сводящихся к синусоидальным (например, сферических волн вида cos(ϕ) / r), или, что менее корректно, при описании периодических волн другой формы. Тем не менее, волну (практически) любой формы с помощью преобразования Фурье можно представить как сумму монохроматических волн, и тогда к каждой из этих волн понятие фазы и фазовой скорости применимо вполне строго (впрочем, тогда у каждой монохроматической волны в разложении будет, вообще говоря, своя фазовая скорость, не совпадающая с другими; только в частных случаях они могут все точно совпадать или быть близки). Для описания волн, отличных от гармонических, (особенно для описания волновых пакетов), используют, кроме понятия фазовой скорости, понятие скорости групповой (описывающей движение не отдельного гребня в волновом пакете, а его огибающей, например, максимума огибающей). Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности: которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородном пространстве естьдля одномерного случая илидля размерности, большей единицы. Конкретное соотношение между ω иk — так называемый закон дисперсии для каждого конкретного типа волн получают обычно из дифференциального уравнения, описывающего данный тип волн, подставляя в него монохроматическую (чаще всего плоскую) волну^[1] В случае, когда фазовая скорость не зависит для данного типа волн от частоты или волнового числа (и направления волнового вектора), тогда и групповая скорость совпадает с нею.

11 Коэффициент отраженияЕсли линия не согласована, то в ней возникает напряжение падающей волны Vinc и напряжение отраженной волны Vref. Поскольку нагрузка не согласована, она не может воспринять всю падающую волну, поэтому часть волны отражается обратно в направлении источника. Отношение падающего напряжения к отраженному называется коэффициентом отражения (p), или фактором отражения напряжения, и определяется следующим выражением: P = Vref / Vinc В согласованной линии отраженное напряжение отсутствует, поэтому p = 0. С другой стороны, если Vref = Vinc, то p = 1. Таким образом, p может изменяться от 0 до 1, в зависимости от степени рассогласования. Следующая формула является альтернативным и более удобным выражением для

p = ZL - Z0 / ZL + Z0 Примечание Если Z0 = ZL, то p = 0; если ZL = 0,то p = -1; если ZL = ○○(разомкнутая цепь), то p = 1. Аналогичные выражения применяются для токов падающей и отраженной волны, за исключением изменения знака. Таким образом, P = Iref / Iinc и P = ZL - Z0 / ZL + Z0 Из приведенных выше выражений следует, что эффективно действующая передающая линия должна иметь коэффициент отражения, равный нулю.

12 Линия без искажений представляет собой линию, вдоль которой волны всех частот распространяются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени. При движении электромагнитной волны по линии без искажений волны напряжения и тока уменьшаются по амплитуде, но формы волн напряжения в конце и начале линии подобны; точно так же подобны формы волн тока в начале и конце линии. Неискажающие линии находят применение в телефонии. При теле­фонном разговоре по таким линиям не искажается тембр голоса, т. е, не искажается спектральный состав голоса. Для того чтобы линия была неискажающей, коэффициент затуха­ния (a) и фазовая скорость (u_ф) не должны зависеть от частоты; a и u_ф не зависят от частоты, если между параметрами линии существует следующее соотношение: R₀ / L₀ = G₀ / C₀. Для сокращения записи обозначим: R₀ / L₀ = G₀ / C₀.= k. По определению g = a +j b = , но Z₀ = R₀ + jwL₀ = L₀(k + jw); Y₀ = G₀ + jwC₀ = C₀(k + jw); g = (k + jw). Следовательно, a = k = ; b = w; u_ф= w / b = 1 / . Из формул) следует, что коэффициент затухания (a) и фазовая скорость (u_ф) в линии без искажений действительно не зави­сят от частоты. В линии без искажений волновое сопротивление является действительным числом и также не зависит от частоты. Чтобы убедиться, что форма волны напряжения в конце линии (u₂) полностью подобна форме волны напряжения в начале линии (u₁), возьмем напряжение на входе линии в виде суммы двух синусоидальных колебаний, одно из которых имеет частоту w, а другое 2w, и составим выражение для напряжения u₂. Пусть напряжение u₁ равно: u₁ = U _1т sin (wt + y₁) + U _2m sin (2wt+y₂). Так как для линии без искажения коэффициент затухания (а) не зависит от частоты [см. формулу (5.42)], то амплитуды обоих колебаний на расстоянии l уменьшаются в одинаковой степени и становятся равными U_1me^-al и U_2me^-al. Для линии без искажения коэффициент фазы (b) прямо пропорционален частоте, поэтому для частоты 2w коэффициент b в два раза больше, чем для частоты w. Следовательно, мгновенное значение напряжения в конце линии равно: u₂ = U _1т e^-al sin (wt + y₁ – b_l) + U _2m e^-al sin (2wt+y₂ -2b_l) = U_1т e^-al sin [w(t-bl/w) + y₁ ] + U _2m e^-al sin [2w(t – 2b_l/2w) + y₂]. Вынесем e^-al за скобку и обозначим время t – b_l/w через t. Получим: u₂ = e^-al (U _1т sin [wt + y₁] + U _2msin [2wt + y₂]). Если сопоставить последнее выражение с выражением для u₁, то можно сде­лать вывод, что напряжение в конце линии имеет ту же форму, что и напряжение в начале линии. Однако оно уменьшено по амплитуде за счет затухания и сме­щено во времени на bl/w = l/u_ф – на время движения волны по линии длиной l.

13 Длинная линияЛиния с распределенными пара­метрами, как правило, служит в качестве промежуточного звена между источником энергии и нагрузкой. Обозначим сопротивление нагрузки Z₂ (Z₂ = ). Если Z₂ Z_в, то падающая волна частично пройдет в нагрузку, частично отразится от нее (возникает отраженная волна). Часто берут Z₂ = Z_в. Такую нагрузку называют согласованной; при ней отраженная волна отсут­ствует. В этом можно убедиться с помощью формулы (5.34). Дей­ствительно, отраженная волна отсутствует, так как = 0: .

14 Напряжение и ток в длинной линииЧтобы получить формулы для определения напряжения и тока в любой точке, удаленной от конца линии на расстояние у, в формулы (5.26) и (5.27) вместо Z_в подставим Z₂, заменим на и на . Получим: = (ch gy + sh gy) = e^gy; (5.37)  =( ch gy + sh gy) = e^gy. (5.38) В начале линии при у = l где – модуль, а j_U2 – аргумент комплекса ; – модуль, а j_I2- аргумент комплекса .

15 Коэффициент полезного действия линии пере­дачи равен отношению активной мощности в конце линии Р₂ к актив­ной мощности в начале линии Р₁. P₂ = U₂ I₂ cos(j_U2 – j_U1) = U₂ I₂ cosj_в где (j_в – аргумент волнового сопротивления Z_в. При согласованной нагрузке угол между U₁ и I₁ также равен j_в, поэтому P₁ = U₁ I₁ cosj_в = U₂ I₂ e^2al cosj_в. Следовательно,

h = P₁ / P₂ = e^-2al.

16 Входное сопротивление нагруженной линииНа рис. 5.6 изображена схема, состоящая из источника напряжения U₁ линии с распределенными параметрами длиной l и нагрузки Z₂. Входное сопротивление равно: . В формулах (5.37) и (5.38) вместо у подставим l и заменим на . Получим: . Или. Если нагрузка согласована (т.е. Z₂ = Z_в), то из выражения (5.41) следует, что входное сопротивление равно волновому:

.

17 Напряжение и ток в линии без потерьСтрого говоря, линии без потерь не суще­ствует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми R₀ и G₀ по сравнению с wL₀ и wС₀ соответственно) и распространить на нее теорию линий без потерь. Известно, что если R₀ = G₀ = 0, то , т.е. коэффициент затухания a = 0, а коэффициент фазы . При этом волновое сопротивление Z_в=является чисто активным. для определения напряжения и тока в любой точке линии обратимся к формулам (5.26) и (5.27): ; . Учтем, что gy = (a + jb) y = (0 + jb) у = jby. Гиперболический косинус от мнимого аргумента jx равен круговому косинусу от аргумента х: ch jx = 0,5 (е^jx + е^-jx) = 0,5 (cos х + jsin х + cos х – j sin х) = cos х, следовательно, ch gy = ch jby = cos by. Гиперболический синус от аргумента jx равен круговому синусу от аргумента х, умноженному на j: sh jx = 0,5 (е^jx + е^-jx) = 0,5 (cos х + jsin х – cos х – jsinх) = jsinх, Следовательно, sh ух = sh jby = j sin by. Поэтому для линии без потерь формулы (5.26) и (5.27) пере­пишем следующим образом: ; (5.42).

18 Электростатическое поле, эл заряд з-н КулонаЭлектростатическое поле — поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов). Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга. Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу, действующую на пробный заряд, помещённый в это поле. Пробный заряд должен быть малым, чтобы не повлиять на характеристику электростатического поля. Электри́ческий заря́д — это физическая скалярная величина, определяющая способность тел быть источником электромагнитных полей и принимать участие вэлектромагнитном взаимодействии. Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними. Иначе: Два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силами, которые пропорциональны произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются электростатическими (кулоновскими).

19 Напряжённость электри́ческого по́ля — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношениюсилы действующей на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда q: . Также иногда называется силовой характеристикой электрического поля. Математически зависимость вектора от координат пространства сама задаёт векторное поле. Модуль напряжённости электрического поля в СИ измеряется в В/м (Вольт на метр). Электри́ческая инду́кция (электри́ческое смеще́ние) — векторная величина, равная сумме вектора напряжённости электрического поля и вектора поляризации. В СИ: .

20 Безвихревой характер электростат поля Из условия следует одно важное соотношение, а именно,величина, векторного произведения для стационарных электрических полей всегда равна нулю. Действительно, по определению, имеем    ,  поскольку пределитель содержит две одинаковые строки.Величина ,называется ротором или вихрем и обозначается, как  rot E. Мы получаем важнейшее уравнение электростатики: rot E.      Таким образом кулоновское электростатическое поле – безвихревое. Согласно теореме Стокса, присутствует следующая связь между контурным и поверхностным интегралами:      ,где контурL ограничивает поверхность S, ориентация которой определяется направлением вектора положительной нормали  n:.Поэтомуработа при перемещении заряда по любому замкнутому пути в электростатическом поле равна нулю.Это условие выполняется для любой радиальной силы независимо от показателя степениn.

21 Электри́ческий потенциа́л -  скалярнаяэнергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала является, таким образом, единица измерения работы, деленная на единицу измерения заряда (для любой системы единиц; подробнее о единицах измерения — см. ниже).Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто опотенциале без уточняющих прилагательных.Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

22 Поляризованность диэлектрика

Если поместить диэлектрик во внешнее электрическое поле, то он поляризуется, т. е. получит неравный нулю дипольный момент p_V=∑p_iгде p_i — дипольный момент одной молекулы. Чтобы произвести количественное описание поляризации диэлектрика вводят векторную величину — поляризованность, которая определяется как дипольный момент единицы объема диэлектрика:  (1) Из опыта известно, что для большого класса диэлектриков (за исключением сегнетоэлектриков, см. далее) поляризованность Р зависит от напряженности поля Е линейно . Если диэлектрик изотропный и Е численно не слишком велико, то (2) где θ — диэлектрическая восприимчивость вещества, она характеризует свойства диэлектрика; θ – безразмерная величина; притом всегда θ>0 и для большинства диэлектриков (жидких и твердых) составляет несколько единиц (но, например, для спирта θ≈25, для воды θ≈80).  Для определения количественных закономерностей электрического поля в диэлектрике поместим в однородное внешнее электрическое поле Е₀ (к примеру, между двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями) пластинку из однородного диэлектрика, расположив ее, согласно рис. 1. Под действием поля диэлектрик поляризуется, т. е. осуществляется смещение зарядов: положительные смещаются по направлению поля, отрицательные — против направления поля. В результате, на правой грани диэлектрика, который обращен к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью +σ', на левой грани — отрицательного заряда с поверхностной плотностью –σ'. Эти нескомпенсированные заряды, которые появляются в результате поляризации диэлектрика, называются связанными. Поскольку их поверхностная плотность σ' меньше плотности σ свободных зарядов плоскостей, то не все поле Е компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности проходит сквозь диэлектрик, другая же часть — останавливается на связанных зарядах. Значит, поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика Е = Е₀. Значит, возникновение связанных зарядов приводит к появлению дополнительного электрического поля Е' (поля, которое создается связанными зарядами), направленого против внешнего поля Е₀ (поля, которое создается свободными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика  Поле Е'=σ'/ε₀ (поле, созданное двумя бесконечными заряженными плоскостями), значит (3) Найдем поверхностную плотность связанных зарядов σ'. Согласно (1), полный дипольный момент пластинки диэлектрика p_V=PV=PSd, где d — толщина пластинки, S — площадь ее грани. С другой стороны, полный дипольный момент, равен произведению связанного заряда каждой грани Q' =σ'S на расстояние d между ними, т. е. р_V = σ'Sd. Значит, PSd=σ'Sd, или  (4) т. е. поверхностная плотность связанных зарядов σ' равна поляризованности Р. Подставив в формулу (3) выражения (4) и (2), получим откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна (5) Безразмерная величина (6)  называется диэлектрической проницаемостью среды. Сравнивая (5) и (6), можем сделать вывод, что ε показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, и характеризует количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле.