6.2.1. Решение уравнения Лапласа функцией mulnigrid.

Как известно [ ], в любой точке области свободной от источников, распределение потенциала описывается двумерным уравнением Лапласа. Задача формулируется следующим образом: требуется найти распределение потенциала на поверхности квадратной пластины с одним зарядом, расположенным в заданной точке(точечный источник). Потенциал на границах области интегрирования принимается равным нулю.

Как отмечено выше решение уравнения Лапласа решается функцией multigrid. Обращение к функции имеет вид: multigrid(M, ncycle). Аргументами функции являются: M – матрица значений правой части уравнения Пуассона, ncycle – число циклов на каждом уровне итераций (целое число, обычно в диапазоне 2< ncycle<5).

Для решения этого уравнения с применением функции multigrid необходимо:

- назначить размер сетки разбиения области интегрирования;

- записать граничные условия (нулевые);

- задать координаты и величину заряда(источника);

- определить имя матрицы результата;

- напечатать: « имя матрицы результата» [Shift]: multigrid (« имя искомой функции», ncicle).

Решение может выводиться на печать или экран дисплея, как в виде таблицы, так и в виде 2D- или 3D-графиков (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Решение уравнения Лапласа с нулевыми

граничными условиями.

С помощью этой же функции можно решить ту же задачу, но с несколькими точечными зарядами при нулевых граничных условиях (рис. 6.4).

6.2.2. Решение уравнения Пуассона функцией relax.

Пусть требуется решить уравнение, описывающее стационарное распределение температуры на поверхности тонкой плоской пластинки при заданном начальном распределении температуры – начальное приближение, и заданных граничных условиях( в том числе отличных от нуля).

Для решения этой задачи используется функция relax. Обращение к функции имеет вид: F: = relax (a, b, c, d, e, S, f, r).

Аргументами функции являются: пять квадратных матриц a,b,c,d,e, содержащих коэффициенты для приближения лапласиана,

S - матрица значений правой части уравнения Пуассона,

f - квадратная матрица того же размера, что и сетка, содержащая известные граничные величины и функции.

r - радиус сходимости Якоби - действительное число (0<r<1), определяющее сходимость (конвергенцию) решения.

Рис. 6.4. Решение уравнения Лапласа с 3-мя точечными зарядами при нулевых граничных условиях.

Примечание:

1. Размерность множеств определяется задаваемым пользователем размером сетки, –i:=0…R, j:=0…R. Очевидно, чем больше , тем меньше размер шага интегрирования и тем точнее решение. В Mathcad наибольший размер сетки ограничен(около 1000 узлов сетки).