2. Умножение векторов и матриц на число.

Произведением матрицы на числоС называется матрица тех же размеров, у которой. Это правило справедливо и для векторов.

Для записи в рабочий лист необходимо напечатать «число»* «имя

вектора(матрицы)» = (равно).

2. Умножение векторов и матриц.

Произведением матрицы размеровна матрицуразмеромназывается матрицаразмером, у которой .Для квадратных матриц .

Для записи оператора умножения матриц можно напечатать A[Shift]*B=(равно) или воспользоваться оператором Dot Product – скалярное произведение матричной панели Matrix.

Для векторов определены два типа умножения:

- скалярное умножение (Dot Product) , результатом которого является число, и

- векторное произведение (Cross Product) , результатом которого является новый вектор.

На рабочем листе скалярное произведение векторов записывается точно так же, как и для матриц.

Векторное произведение векторов требует обращения к панели Matrix, для чего нужно щёлкнуть мышью опцию и заполнить шаблон. Векторы –множители должны быть 3-хмерными.

2. Транспонирование векторов и матриц.

Транспонирование – преобразование матрицы, при котором столбцы исходной матрицы становятся строками:

Транспонирование вектора - столбца приводит к замене его вектором - строкой той же размерности:

Примеры основных действий с векторами приведены на рис. 3.11. Об использованиии функций Mathcad, например, svds(v) , last(v) сказано ниже.

Рис. 3.11. Пример операций с векторами.

3.2.5. Обратная матрица. Определитель матрицы.

Матрица называется обратной для матрицыА , если , гдеЕ - единичная матрица.

Для квадратной матрицыА обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель, составленный из элементов прямой матрицы, отличен от нуля, т.е. . Определители прямой и обратной матриц связаны соотношением:.

Рис. 3.12. Примеры действий с матрицами.

Определитель(детерминант) квадратной матрицы - число(обозначение), характеризующее свойства матрицы. Вычисление определителя матрицы вручную – трудоёмкий процесс.

В Mathcad имеются две возможности вычисления определителя.

Если элементами матрицы являются числа, то нужно на панели Matrix щёлкнуть мышью знак «Determinant», напечатать в открывшемся шаблоне имя матрицы и напечатать =(равно) для просмотра результата.

В том случае, когда элементами матрицы являются идентификаторы нужно так же ввести шаблон определителя, заполнить его и щёлкнуть мышью символический знак равенства (левая стрелка) на панели Symbolic(символьные вычисления) для отображения результата в символьной форме (рис. 3.12).

3.2.6. Оператор vectorize.

В Mathcad есть один оператор множества называемый оператором векторизации (vectorize), который особенно полезен для многократного выполнения одинаковых вычислений.

Рис. 3.13. Примеры записи оператора векторизации.

Введение этого оператора устраняет противоречие, связанное со скалярным произведением векторов. Сущность этого противоречия состоит в следующем. Если, например, вектор умножается скалярно на число, то получается новый вектор, каждый элемент которого умножен на это число, но если скалярно умножается тот же вектор сам на себя, то результатом будет число, равное сумме квадратов элементов вектора, а не вектор.

Оператор векторизации же, в отличие от скалярного произведения, производит умножение каждого элемента v_k (k=1…n) вектора V на элемент с тем же номером (с тем же индексом) другого или того же вектора, производя новый вектор такой же длины n.

Ввести оператор vectorize можно двумя способами:

- напечатать Ctrl – (минус) «имя первого операнда»[Shift]* «имя второго операнда» = (равно) и щёлкнуть левой кнопкой мыши;

- щёлкнуть мышью опцию « f(M) » на матричной панели Matrix и выполнить те же действия, что и выше.

Операндами оператора векторизации могут быть и матрицы одинаковой размерности. Например, если напечатать M*M [пробел] [Ctrl] –(минус) = (равно), то получается новая квадратная матрица той же размерности, элементы которой равны произведению каждого элемента матрицы М на самого себя.

Примечание: Число операндов в операторе vectorize может быть любым, не обязательно равным двум.