§4. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен
Рассмотрим
интегралы 
или 
.
В знаменателе находится квадратный
трёхчлен, с отрицательным дискриминантом,
который не имеет корней и на множителе
не раскладывается.
Такие
интегралы с помощью выделения полного
квадрата приводятся к табличным интеграла
вида: 
,
,
.
Пример.
Найти
интеграл 
.
Решение: Найдём дискриминант знаменателя
D=9-4*2*4=-23<0 – следовательно действительных корней нет.
Вынесем 2 за знак интеграла, получим
.
Выделим полный квадрат
-
+
=
Это
табличный интеграл вида 
=
∙arctg
+ c
u
=
x
+ 
;
du=dx
И согласно формуле (16)
I
=
(
∙ arctg
)+С.
Ответ:
arctg
+ С.
Теперь
рассмотрим интегралы вида 
В числителе появился многочлен первой степени, который не является производной знаменателя, а знаменатель по прежнему имеет отрицательный дискриминант.
Вычисление интегралов такого вида рассмотрим на примере.
Пример.
Найти
интеграл 
dx
Примем весь квадратный трёхчлен за
новую переменную
.
Найдём du=(4x+3)dx.
,
необходимо, чтобы du=(4x+3)dx.
Но в задании числитель (3x+5),
выделим из (3x+5)→
(4x+3)
следующим образом
(3x+5)=
(4x+3)
- 
+5=
(4x+3)
+
, т.е. числитель получился состоящим из
суммы, которую распишем на два интеграла
I
=
dx+
=
+ 
Тогда
I
=
+ 
+c.
Задание 4
Найти интегралы.
|
Вариант 1
|
Вариант 2 |
|
Вариант 3 |
Вариант 4 |
|
Вариант 5
|
Вариант 6 |
|
Вариант 7
|
Вариант 8 |
|
Вариант 9
|
Вариант 10 |
|
Вариант 11
|
Вариант 12 |
|
Вариант 13
|
Вариант 14 |
|
Вариант 15 |
Вариант 16 |
|
Вариант 17
|
Вариант 18 |
|
Вариант 19
|
Вариант 20 |
|
Вариант 21
|
Вариант 22 |
|
Вариант 23
|
Вариант 24 |
|
Вариант 25
|
Вариант 26 |
|
Вариант 27
|
Вариант 28 |
|
Вариант 29
|
Вариант 30 |
§5. Интегрирование рациональных функций с помощью разложения на простейшие дроби. (Метод неопределённых коэффициентов)
Перед
интегрированием рациональной дроби
нужно
сделать следующее алгебраические
преобразования:
Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неё целую часть, т.е.представить в виде:
,
где М(x)
– многочлен, а 
– правильная рациональная дробь.
Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители (если это возможно).
3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби с неизвестными коэффициентами А, В, С,… это разложение записывается в зависимости от знаменателя дроби (если знаменатель дроби имеет различные линейные множители):
а)
=
…;
б)
;
в)
;
г)
.
4) Вычислить неопределённые коэффициенты А, В, С,… (Вычисление рассмотрим на конкретных примерах).
В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение: Рассмотрим подынтегральную функцию.
Так как степень числителя больше степени знаменателя, т.е. дробь неправильная, то выделим из неё целую часть.
−
−
Итак
получим 
;
2) Разложим знаменатель оставшейся правильной дроби на множители, для этого найдём корни; в данном случае воспользуемся методом подбора корней: Например х₁=1
=1-7+6=0
Значит х₁=1 является одним из корней, а (х-1) один из множителей знаменателя. Выполним деление и получим степень знаменателя
−
−
−
0
Оставшийся
квадратный трёхчлен имеет корни х₂=2;
и х₃=-3;
т.е. 
отсюда получим
.
и различны (случай (а))
Представим
теперь дробь 
в виде суммы простейших дробей с
неопределёнными коэффициентами
И рассмотрим один из способов нахождения неопределённых коэффициентов как раз удобный для случая, когда знаменатель имеет неповторяющиеся множители первой степени.
Итак приведём правую часть к общему знаменателю
Т.к. знаменатели левой и правой частей равны, то приравняем числители
Далее будем подставлять значения х в получившееся уравнение, желательно, чтобы это были значения, являющиеся действительными корнями знаменателя при х=1 (можно найти А)
15∙1+12∙1=
А(1
2)∙(1+3)+В∙0+С∙0;
27=А∙(
1)
∙4
4∙А=27
А=
При
х
=
3
(можно найти С)
15∙9+12∙(
3)=А∙0+В∙0+С∙(
3
1)
(
3
2);
135
36=(
4)∙(
5)∙С
99=20С
С=
При х=2 (найдём В)
15∙4+12∙2=
А∙0+В(2
1)(2+3)+
С∙0
84= 5В∙1
В=
.
Подставим найденные коэффициенты и вычислим интеграл:
+
Пример. Найти интеграл
Решение: Так как подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, то целую часть выделять не будем.
Знаменатель
дроби на множители больше не раскладывается,
т.к. квадратный трёхчлен 
- не имеет действительных корней (случай
(в)). Приступаем к разложению подынтегральной
дроби на сумму простейших дробей с
неопределёнными коэффициентами:
В этот раз применим другой способ нахождения неопределённых коэффициентов. Также приведём правую часть к общему знаменателю
Т.к. знаменатели равны, то приравняем числители
Раскроем скобки, получим
.
Теперь
сгруппируем в правой части члены с
одинаковыми степенями 
и вынесем их за скобки, 
.
Будем приравнивать коэффициенты левой и правой частей при одинаковых степенях х, т.е. получим систему
А+В=1,
4А+2В+С=
3,
5А+2С=2.
из
первого уравнения В=1
А;
из
третьего С=
;
подставим
во второе уравнение 4А+2
2А+
найдём А
2А+
4А+2-5А=
10
А=
12
А=12.
Тогда
В=1
12=
11
В=
11,
С
=
,
С=
29.
Подставим в подынтегральное выражение и вычислим интегралы
+
dx
= 12 ln 
- 
dx.
Найдём второй интеграл
u=
;
du=(2x
4)dx;
11x+29=
;
dx=
=
Окончательно
I
= 12 ln
Пример.
Найти
интеграл 
dx.
Решение: Дробь правильная, значит целую часть выделять не будем.
Разложим знаменатель на множители,
Значит подынтегральное выражение примет вид:
(случай (б)). Представим дробь в виде
суммы простейших дробей с неопределёнными
коэффициентами
.
Здесь можно применить комбинированный способ. Сначала найдём А при х=2
x
5=
;
2
5=
A
;
;
А
=
.
При
х=
2
получим
;
7=
4∙C;
C
=
Зная А и С будем определять В следующим образом:
х
5=
,
подставим х=0
5=
,
5=
4В=
4В=
В =
Найдём интеграл:
dx
=
+
+
+
.
Задание 5
Найти интегралы.
|
Вариант 1 |
Вариант 2
|
|
Вариант 3 |
Вариант 4
|
|
Вариант 5 |
Вариант 6
|
|
Вариант 7 |
Вариант 8
|
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
|
Вариант 11 |
Вариант 12
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14
|
|
Вариант 15 |
Вариант 16 |
|
Вариант 17 |
Вариант 18
|
|
Вариант 19 |
Вариант 20
|
|
Вариант 21 |
Вариант 22 |
|
Вариант 23
|
Вариант 24
|
|
Вариант 25
|
Вариант 26
|
|
Вариант 27
|
Вариант 28
|
|
Вариант 29
|
Вариант 30
|
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx