2.2. Однородные уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка . Если функция удовлетворяет условию , то есть является однородной функцией нулевого порядка, то данное уравнение называется однородным.

Полагая в равенстве , переменную равной , получим, или. Это означает, что однородная функция нулевого порядка может быть выражена через отношение. Поэтому, для решения данного уравнения применяют подстановкуили, где— неизвестная функция от. Найдя ее, найдем и- решение данного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Находим ;;. Так как правая часть зависит от, то уравнение является однородным. Делаем подстановку:, тогдаи получаем,,,,, интегрируя, получим,,. Следовательно,— общее решение данного уравнения.

2.3. Линейные уравнения первого порядка.

Линейными уравнениями первого порядка называются уравнение вида , где и— заданные непрерывные функции от.

Для решения таких уравнений делаем подстановку . Тогда и уравнение примет видили. Выберем теперь так, чтобы . Для этого надо решить последнее уравнение. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и решается просто. Найдя , из уравнениянаходим функцию, а значит, и. Таким образом, уравнение распадается на систему двух более простых уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Сделаем подстановку , гдеи— неизвестные пока функции от. Тогда и уравнение принимает вид:

или (9)

Выбираем так, чтобы. Решаем это уравнение ,;; интегрируя получим:;;. Подставляя это значение в равенство (9) получим:

; ;;.

Таким образом, — общее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение вида , при не является линейным. Оно называетсяуравнением Бернулли, но решается так же, как и линейное, подстановкой .

3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Перейдем к рассмотрению дифференциальных уравнений высших порядков, начиная со второго. Дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид

.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , которая при любых значениях произвольных постоянных обращает уравнение в тождество и из которой специальным подборомиможно получить любое частное решение.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения второго порядка, общее решение которых находится понижением порядка уравнения.

1. Уравнение вида . Имеем , тогда, , ,.Далее , поэтомуи, где— одна из первообразных функций для.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение второго порядка .

Решение. ;;;. Интегрируя, находим. Далее ;;, интегрируя, получаем

—общее решение.

Замечание. Аналогичным образом решаются уравнения указанного вида более высокого порядка.

2. Уравнения, явно не содержащие неизвестной функции :.

Делая замену , получими уравнение принимает вид. Решая это уравнение первого порядка, находим функцию , а затем, из подстановки , путем интегрирования находим неизвестную функцию.

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Делаем подстановку . Тогда . Получим

, ;;.

Интегрируя последнее уравнение, найдем ;. Так как ,то;, откуда— это и есть общее решение данного уравнения.

3. Уравнения, явно не содержащие независимую переменную :.

В этом случае, исходя из подстановки , где— функция от, находим . Подставляя в исходное уравнение значенияи, получаем уравнение первого порядка относительно функции , найдя которую, из подстановки , находим.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Делая подстановку ,, получим,. Интегрируем обе части уравнения:;;;. Так как, то;;;. Интегрируя, найдем:

.

Итак, общий интеграл данного уравнения .