5. Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений вида

,

где ,— неизвестные функции от аргумента. В общем случае такая система решается методом исключения неизвестных.

Частным случаем систем дифференциальных уравнений, наиболее часто встречающихся в практике, являются системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида:

.

Здесь, аргументом является переменная , а и - неизвестные функции этой переменной. Одним из методов решения такой системы является метод характеристического уравнения, суть которого состоит в том, что неизвестные функции находятся в виде ,. Таким образом, задача сводится к нахождению . Как это делается, покажем на примере.

Пример 9. Найти общее решение системы .

Решение. Пусть ,, подставим эти значения в систему:

.

Получим линейную систему уравнений относительно . Чтобы эта система имела ненулевые (нетривиальные) решения, ее определитель должен быть равен нулю

.

Это уравнение называется характеристическим и имеет два корня . Возьмем сначала и подставим в последнюю систему

.

Полагая найдеми тогда,. Пусть теперьи тогда

.

Выбирая найдеми тогда,. Можно показать, что общим решением системы будет пара функцийи:

, , гдеи- произвольные постоянные.

Контрольная работа №9

9.1-9.30. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

9.1.	;	.
9.2.	;	.
9.3.	;	.
9.4.	;	.
9.5.	;	.
9.6.	;	.
9.7.	;	.
9.8.	;	.
9.9.	;	.
9.10.	;	.
9.11	;	.
9.12.	;	.
9.13.	;	.
9.14.	;	.
9.15.	;	.
9.16.	;	.
9.17.	;	.
9.18.	;	.
9.19.	;	.
9.20.	;	.
9.21.	;	.
9.22.	;	.
9.23.	;	.
9.24.	;	.
9.25.	;	.
9.26.	;	.
9.27.	;	.
9.28.	;	.
9.29.	;	.
9.30.	;	.

10.1-10.30. С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти площадь области, ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.

10.1.	;	;	.
10.2.	;	;	.
10.3.	;	;	.
10.4.	;	;	.
10.5.	;	;	.
10.6.	;	;	.
10.7.	;	;	.
10.8.	;	;	.
10.9.	;	;	.
10.10.	;	;	.
10.11.	;	;	.
10.12.	;	;	.
10.13.	;	;	.
10.14.	;	;	.
10.15.	;	;	.
10.16.	;	;	.
10.17.	;	;	.
10.18.	;	;	.
10.19.	;	;	.
10.20.	;	;	.
10.21.	;	;	.
10.22.	;	;	.
10.23.	;	;	.
10.24.	;	;	.
10.25.	;	;	.
10.26.	;	;	.
10.27.	;	;	.
10.28.	;	;	.
10.29.	;	;	.
10.30.	;	;	.

11.1-11.30. Найдите массу тела, ограниченного заданными поверхностями, если пространственная плотность распределения массы равна .

11.1.	;	; ;	;	=2.
11.2.	;	;	;	=5.
11.3.	;	;	;	=3.
11.4.		;;		=.
11.5.				=.
11.6.	;	; ;	;	=4.
11.7.	;	;	;	=3.
11.8.	;	; ;	;	=z.
11.9.	;	; ;	;	=2.
11.10.	;	;	;	=4.
11.11.				=.
11.12.				=.
11.13.	;	; ;	;	.
11.14.				=.
11.15.	;	;	;	=3.
11.16.	;	; ;	;	=y.
11.17.	;	; ;	;	=5.
11.18.	;		;	=y.
11.19.
11.20.	;	;	;	=4.
11.21.	;	; ;	;	=z.
11.22.		;		=.
11.23.	;	; ;	;	=2.
11.24.				=.
11.25.				=.
11.26.				=.
11.27.	;	; ;	;	=z.
11.28.	;	;	;	=2,5.
11.29.	;
11.30.	;

12.1-12.30. Вычислите криволинейный интеграл

12.1. , гдеL — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А(1, 1)

a) по кривой ;

b) по ломанной линии ОВА, где В(0, 1);

c) по окружности .

12.2. , гдеL — путь, соединяющий точки А(1, 0) и В(0, 1)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(1, 1);

c) по окружности .

12.3. , гдеL — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А(-4, 2)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии ОCА, где C(0, 2);

c) по эллипсу .

12.4. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-2, 0) и В(0, 2)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(-2, 2);

c) по окружности .

12.5. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, -3) и В(3, 0)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(3, -3);

c) по параболе .

12.6. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, -1)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(-1,-1);

c) по параболе .

12.7. , гдеL — путь, соединяющий точки А(2, 0) и В(0, 4)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(2, 4);

c) по эллипсу .

12.8. , гдеL — путь, соединяющий точки А и В

a) по гиперболе ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(2, 2);

c) по прямой .

12.9. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, 2)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(-1, 2);

c) по эллипсу .

12.10. , гдеL — путь, соединяющий точки А(4, 0) и В(0, 2)

a) по параболе ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(4, 2);

c) по эллипсу .

12.11. , гдеL — путь, соединяющий точки А(1, 2) и В(2, 1)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(2, 2);

c) по параболе .

12.12. , гдеL — путь, соединяющий точки А(9, 0) и В(0, 3)

a) по параболе ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(9, 3);

c) по прямой .

12.13. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, -1)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(-1, -1);

c) по параболе .

12.14. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, 2)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(-1, 2);

c) по эллипсу .

12.15. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, 3) и В(1, 4)

a) по кривой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(0, 4);

c) по прямой .

12.16. , гдеL — путь, соединяющий точки А(3,0) и В(0, 3)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(3, 3);

c) по окружности .

12.17. , гдеL — путь, соединяющий точки А(2, 0) и В(3, 1)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(2, 1);

c) по окружности .

12.18. , гдеL — путь, соединяющий точки А и В

a) по кривой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С;

c) по прямой .

12.19. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, 2) и В(1, 3)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(0, 3);

c) по параболе .

12.20. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-4, 0) и В(0, -2)

a) по параболе ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(-4, -2);

c) по прямой .

12.21. , гдеL — путь, соединяющий точки А и В

a) по гиперболе ;

b) по ломанной линии АСВ, где С;

c) по прямой .

12.22. , гдеL — путь, соединяющий точки O(0, 0) и В(2, 2)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии OСВ, где С(0, 2);

c) по окружности .

12.23. , гдеL — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А

a) по прямой ;

b) по ломанной линии ОВА, где В(-1, 0);

c) по полукубической параболе .

12.24. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-2, 5) и В(0, 1)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(0, 5);

c) по параболе .

12.25. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, 2)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АВС, где С(-1, 2);

c) по эллипсу .

12.26. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-2, 0) и В(0, 1)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(-2, 1);

c) по эллипсу .

12.27. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, 2) и В(4, 0)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(4, 2);

c) по эллипсу .

12.28. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, -3)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(-1, -3);

c) по эллипсу .

12.29. , гдеL — путь, соединяющий точки А(2, 4) и В(4, 2)

a) по кривой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(4, 4);

c) по прямой .

12.30. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, -3) и В(4, 0)

a) по прямой ;

b) по ломанной линии АСВ, где С(4, -3);

c) по эллипсу .