Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8

1. Дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения

Уравнение, связывающее независимую переменную , функцию этой переменной и ее производные, называетсядифференциальным.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение. Например, уравнение - уравнение 1-го порядка, - уравнение 2-го порядка и т. д.

Частным решением дифференциального уравнения называется функция , обращающая это уравнение в тождество.

Рассмотрим уравнение . Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Функция будет его решением, т.к. и подстановка этой функции в уравнение дает:, т.е. эта функция обратила данное уравнение в тождество.

Легко проверить, что и вообще,— будут решением данного уравнения.

Функция называетсяобщим решением дифференциального уравнения 1-го порядка, если при любом значении произвольного постоянного с она обращает это уравнение в тождество и специальным подбором постоянного с из этой функции можно получить любое частное решение. Так, в приведенном примере, функции и т. д. являются частными решениями, а функция— общим решением рассматриваемого уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Частные решения определяют конкретные интегральные кривые, а общее решение — семейство всех интегральных кривых. Интегральная кривая, определяющая частное решение и удовлетворяющее начальному условию — это кривая из семейства интегральных кривых, проходящая через точку.

Пусть начальные условия для рассматриваемого примера будут . Подставляя в общее решение иполучим, откуда и функциябудет являться частным решением, удовлетворяющим заданному начальному условию. Из всех интегральных прямых мы взяли ту, которая проходит через точку. (рис.5).

рис. 5

Аналогичным образом будем определять позже частные и общие решения для уравнений более высокого порядка. Рассмотрим конкретные виды дифференциальных уравнений и методы их решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в неявном или в явном виде. Если это уравнение может быть представлено в виде , то оно называетсяуравнением с разделяющимися переменными. Действительно, в этом случае можно провести следующие преобразования: ,,, (). И получим уравнение с ужеразделенными переменными. Интегрируя левую и правую части уравнения с разделенными переменными, получим . Выполняя интегрирование, найдем связь междуив виде, которая называетсяобщим интегралом данного уравнения. Если из последнего уравнения выразить , то получимобщее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение с разделяющимися переменными может быть записано в виде . К уравнению с разделенными переменными приходим аналогичнои теперь нужно, как и раньше, проинтегрировать обе части полученного равенства.

Например,

; ;;.

Интегрируем последнее уравнение

—общее решение данного уравнения.