
- •Высшая математика
- •Часть 3
- •Составители: ст.Преп. Елена Николаевна Бесперстова
- •Рабочая программа
- •Рекомендуемая литература
- •Контрольная работа №7.
- •4.1-4.30.
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 7
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •5. Интегрирование тригонометрических функций
- •6. Определенный интеграл
- •7. Несобственные интегралы.
- •8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Контрольная работа №8 Дифференциальные уравнения
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные уравнения первого порядка.
- •3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •4. Линейные уравнения второго порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №9
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9
- •1. Кратные и криволинейные интегралы
- •2. Вычисление двойных интегралов
- •3. Вычисление тройных интегралов
- •4. Вычисление криволинейных интегралов
4. Вычисление криволинейных интегралов
Вычисление криволинейных интегралов зависит от того, в каком виде задается уравнение кривой интегрирования. Рассмотрим три случая.
1) Пусть
контур интегрирования L
задан
уравнением в явном виде
,
где
.
В
этом случае криволинейный интеграл
надо выразить через переменную
и свести его к обычному определенному
интегралу, то есть
; (16)
2) Пусть
контур интегрирования задан явным
уравнением
,
.
Заменой
и
сводим
криволинейный интеграл к определенному
интегралу
(17)
3) Пусть
контур
интегрирования L
задан уравнением в параметрической
форме
,
,
.
В этом случае
криволинейный интеграл выражают через
параметр
и сводят к обычному определенному
интегралу, то есть
(18)
Пример 4.
Вычислить криволинейный интеграл
,если
кривая АВ
задана уравнением
и
.
Решение.
Так как кривая задана явным уравнением
,
где
,
то
вычисляем интеграл по формуле (16). Находим
и
Пример
5.
Вычислить криволинейный интеграл
от точкиМ(1,1)
до точки N(4,2)
вдоль кривой
.
Решение. Этот интеграл вычисляем по формуле (17)
Пример
6.
Вычислить криволинейный интеграл
,
если криваяАВ
задана параметрическими уравнениями:
,
,
.
Решение. Кривая АВ есть часть эллипса с полуосями 3 и 2, находящаяся в первой четверти. Так как кривая АВ задана параметрически, то этот интеграл будем вычислять по формуле (18). Имеем
Замечание. Если в криволинейном интеграле путь интегрирования L разбит на несколько участков, например, на L1 и L2, то
=
+
.