Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9

1. Кратные и криволинейные интегралы

1.1. Основные понятия и определения

Рассмотрим некоторое измеримое множество точек Е, на котором определена непрерывная функция . Разобьем множествоЕ произвольным образом на n частей , причем, чтобы не вводить новых обозначений, подбудем понимать не только обозначение соответствующей области, но и ее меру.

Возьмем точки , вычислими составим сумму

.

Эту сумму назовем интегральной суммой для функции на множествеЕ.

Предел интегральной суммы при , если он существует и не зависит ни от способа разбиения множестваЕ на части , ни от выбора точек, называетсяинтегралом от функции на множестве Е и обозначается . Итак,

.

1.2. Определенный интеграл

Если множество Е представляет собой отрезок осиОх, то ,и мы получаем уже известное нам определение определенного интеграла

.

1.3. Двойной интеграл.

Если множество Е — некоторая область D в плоскости Oxy, то ,,,,и— интегральная сумма для функциив областиD, а ее предел (если он существует), при , называетсядвойным интегралом от функции на областиD и обозначается .

Итак, .

Геометрический смысл интегральной суммы, стоящей под знаком предела — сумма объемов «столбиков», один из которых показан на рис. 6.

рис. 6

1.4. Тройной интеграл.

Если множество Е — некоторая пространственная область V, то ,,и— интегральная сумма для функциив областиV, а ее предел (если он существует), при , называетсятройным интегралом от функции на областиV и обозначается .

Итак, .

Аналогичным образом определяется любой n-кратный интеграл.

Замечание. Если функции ,,, … непрерывны в соответствующих областях, то интегралы от этих функцийсуществуют.

Геометрический смысл определенного интеграла уже известен. Геометрический смысл двойного интеграла — объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область D, сверху — поверхность , а с боков — цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными осиOz (рис.6). Интегралы более высокой кратности геометрического смысла в общем случае не имеют.

Физический смысл всех рассмотренных интегралов — масса соответствующей области интегрирования, для которой подынтегральная функция является плотностью распределения масс.

Свойства кратных интегралов аналогичны известным свойствам определенного интеграла.

С помощью кратных интегралов можно вычислять площади, объемы, находить статистические моменты и моменты инерции, координаты центров тяжести различных тел и решать другие задачи. В частности, площади плоских областей можно находить по формуле , а объемы пространственных тел по формуле.

1.5. Криволинейный интеграл

Рассмотрим случай, когда множество Е — некоторый участок АВ кривой L, лежащий в плоскости Oxy, в каждой точке которой определены и непрерывны функции и. По аналогии с предыдущим, составим интегральную сумму

,

где точка .

Предел этой суммы, при и, если он существует, называетсякриволинейным интегралом по координатам по кривой L и обозначается

.

Таким образом,

Из свойств криволинейного интеграла отметим только одно: при изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак.

Если иявляются координатами вектора, определенного в точках кривойL, то этот вектор задает векторное (силовое) поле над кривой L и тогда криволинейный интеграл определяет работу, совершаемую вектором на участке кривойL от точки A до точки B. Если кривая L замкнута, то указанная работа называется циркуляцией векторного поля.

Аналогичным образом определяется криволинейный интеграл по пространственной кривой.