СМ задания
.pdf
3. Найдём перемещения характерных сечений стержня: а - а, d -d, е - е, I - I (рисунок 2, г). Перемещение сечения а - а равно нулю, так как в этом сечении
стержень жёстко прикреплён к опоре |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|||
Перемещение сечения d - d: |
|
|
|
|
∆ = σ 3 × c |
= |
6,7 × 2 ×103 |
= 0,067 мм. |
||||||
|
|
|
|
2 ×105 |
||||||||||
Cечение |
е - |
е |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
с сечением d - d и |
||
стержня перемещается |
вместе |
|||||||||||||
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одновременно относительно его. Поэтому |
|
|
|
|||||||||||
= |
+ |
σ 2 ×b = 0,067 |
|
|
|
|
6,7 ×1×`103 |
|
= 0,067 – 0,034 = 0,033 мм. |
|||||
|
|
|
2 ×105 |
|
||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично определим перемещение концевого сечения I – I: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
+ |
σ1 × a = 0,033 + |
|
5 × 2 ×103 |
= 0,033 + 0,05 = 0,083 мм. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
2 ×105 |
|
|
|
|
|
||
Строим график перемещений сечений стержня по его длине (рисунок 1, г).
Кручение
Стержень испытывает деформацию кручение, если в его поперечных сечениях под действием внешних моментов возникают внутренние крутящие моменты , лежащие в плоскости сечения стержня. Для определения опасного сечения стержня, используя метод сечений, строится эпюра крутящих моментов.
Напряжение в любой точке поперечного сечения определяется по формуле:
τ P = |
Tk × ρ |
, |
|
||
|
J P |
|
где Тк – крутящий момент в рассматриваемом сечении; JP – полярный момент инерции сечения;
ρ – удаление рассматриваемой точки от центра тяжести сечения.
Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны:
τ max = |
Tk × r |
= |
Tk |
, |
|
|
|||
|
J P |
Wp |
||
где Wр = Jrp – полярный момент сопротивления сечения.
11
Угловые перемещения сечений стержня
ϕ = Tk ×l , G × J p
где G – модуль упругости при сдвиге.
Задача № 2
К стальному ступенчатому стержню, имеющему сплошное круглое поперечное сечение, приложены крутящие моменты. Левый конец стержня жестко закреплен в опоре, а правый конец – свободен. Расчетные схемы представлены на рисунке 5, а числовые данные приведены в таблице 2. Требуется:
1)построить эпюру крутящих моментов по длине стержня;
2)при заданном значении допускаемого напряжения на кручение
определить диаметры d1 и d2 стержня из расчета на прочность, полученные значения округлить;
3)построить эпюру действительных напряжений кручения по длине стержня;
4)построить эпюру углов поворота сечений, приняв модуль упругости при сдвиге G = 0,8×105 Н/мм2.
Таблица 2 – Числовые данные к задаче № 2
Вари- |
|
Расстояния, м |
|
|
Моменты, кН∙м |
|
[τ ], |
|||
анты |
а |
|
в |
|
с |
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т4 |
Н/мм2 |
1 |
1,5 |
|
2 |
|
1 |
4 |
3 |
1 |
2 |
55 |
2 |
1 |
|
1,5 |
|
3 |
4,5 |
2 |
1,2 |
0,2 |
60 |
3 |
2 |
|
1 |
|
2 |
5 |
3 |
0,5 |
1,5 |
50 |
4 |
3 |
|
2 |
|
1 |
4,2 |
2,5 |
1,2 |
0,5 |
60 |
5 |
2 |
|
1 |
|
1 |
3,5 |
1,2 |
1,5 |
0,8 |
45 |
6 |
1 |
|
2 |
|
1 |
5,5 |
0,5 |
2,5 |
0,5 |
50 |
7 |
1,2 |
|
1 |
|
1 |
8,5 |
2 |
3,5 |
1,5 |
70 |
8 |
2 |
|
1 |
|
1,5 |
6,5 |
1,5 |
0,5 |
1,5 |
60 |
9 |
1 |
|
1,2 |
|
0,8 |
6,5 |
0,5 |
1,5 |
2 |
65 |
10 |
0,8 |
|
0,5 |
|
0,5 |
9 |
1,5 |
2,5 |
0,5 |
70 |
11 |
1 |
|
1 |
|
1 |
8 |
2,5 |
1,5 |
1 |
80 |
12 |
1,2 |
|
1,5 |
|
2 |
7 |
2 |
1,5 |
1 |
70 |
13 |
0,6 |
|
1 |
|
2 |
6 |
1,8 |
1,2 |
0,5 |
60 |
14 |
1 |
|
1,2 |
|
2,5 |
5 |
2 |
1 |
0,8 |
50 |
15 |
1,5 |
|
1,2 |
|
1 |
4,5 |
1,5 |
1 |
0,5 |
50 |
16 |
1 |
|
2 |
|
1 |
6,5 |
1,5 |
2 |
1 |
60 |
12
Пример 2 К стальному ступенчатому стержню, имеющему сплошное круглое поперечное сечение, приложены крутящие моменты (рисунок 3). Требуется:
1)построить эпюру крутящих моментов по длине стержня;
2)при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 стержня из расчёта на прочность;
3)построить эпюру действительных напряжений кручения по длине стержня;
4)построить эпюру углов поворота сечений, приняв модуль упругости при
сдвиге G = 0,8 ∙ 105 Н/мм2, Т1 = 4,5 кН∙м, Т2 = 2 кН∙м, Т3 = 3 кН∙м, Т4 = 7,5 кН∙м,
а = 1,5 м, b = 2 м, с = 1 м, [τ ] = 60 Н/мм2, Е = 2∙105 Н/мм2.
Решение. 1) Для определения крутящих моментов, возникающих в поперечных сечениях стержня, воспользуемся методом сечений. Разобьём стержень на участки Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV (см. рисунок 3). На участке Ι мысленно проведём сечение 1- 1, которое рассечёт стержень на две части. Рассмотрим равновесие правой от сечения части стержня, на которую действует внешний момент Т1 и внутренний крутящий момент Т1k, которым мы заменили действие отброшенной левой части. Крутящий момент Тk, возникающий в сечении, считается положительным, если при взгляде со стороны торца отсечённой части стержня, действующий на него внешний момент виден направленным по ходу часовой стрелки. Если на отсечённую часть стержня действует несколько внешних моментов, то крутящий момент в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме внешних моментов, расположенных по одну сторону от сечения. Найдём значения крутящих моментов, возникающих в поперечных сечениях рассматриваемых участков стержня.
Т1k = Т1 = 4,5 кН∙м, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т11k = Т1 |
Т2 = 4,5 – 2 = 2,5 кН∙м, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
TIIIk = Т1 − |
Т2 + Т3 = 4,5 – 2 + 3 = 5,5 кН∙м, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
T |
+ T3 − T4 |
= |
4.5 |
− |
2 |
+ |
3 |
− |
7.5 |
= − |
2 |
кН∙м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
TIVk = T1 −−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Строим эпюру крутящих моментов |
|
(рисунок 3). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) Определяем диаметры вала d1 |
|
и d2 из условия прочности при кручении: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T max |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||
|
[ ] или |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда Wp |
³ |
|
, где Wp – полярный |
||||||||||
|
|
Wp |
|
|
|
|
|
|
|
|
[τ ] |
|||||||||||||||
момент сопротивления сечения вала, [ |
] - допускаемое касательное напряжение |
|||||||||||||||||||||||||
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
[ |
]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при кручении. Для круглого сечения Wp |
= 0,2d3, следовательно, d ³ |
3 |
|
Tk max |
|
|
||||||||||||||||||||
0,2[τ ] |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Tk max – максимальное значение |
|
крутящего |
момента в сечении |
вала, в |
||||||||||||||||||||||
котором определяется его диаметр. |
|
|
|
|
|
= 4,5 кН∙м = 4,5∙106 Н∙мм. |
||||||||||||||||||||
При определении значения d1 ( участки Ι, ΙΙ ) Tkp max |
||||||||||||||||||||||||||
При определении значения d2 ( участки ΙΙΙ, ΙV ) Tk max = 5,5 кН∙м = 5,5∙106 Н∙мм
13
Тогда |
d1 ³ |
3 |
|
4,5×106 |
|
= 72мм, |
d2 ³ |
3 |
|
5,5×106 |
|
= 77мм. |
|
|
|||||||||||
|
|
0,2 ×60 |
|
|
|
0.2 × 60 |
|
|
||||
Полученные значения диаметров d1 и d2 округляем до ближайшего большего значения кратного пяти. Принимаем d1 = 75 мм, d2 = 80 мм.
Tк (кН × м) |
|
|
t(Н / мм2 ) |
|
|
j( рад) |
3,5×10−2 |
6,2×10−2 |
2,5×10−2 |
|
|
0,9×10−2 |
|
|
Рисунок 3 – Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов поворота сечений вала
3) Определяем действительные напряжения кручения в сечениях вала по его длине:
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
4,5 ×106 |
2 |
||||
τ I = |
|
|
|
Ik |
= |
|
Ik |
|
|
= |
|
|
|
=53,3 Н/мм , |
||
Wp1 |
|
0,2d13 |
0.2 × 753 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
2,5×106 |
2 |
||||
τ II = |
|
|
IIk |
|
= |
|
IIk |
|
|
= |
|
|
|
= 29,6 Н/мм , |
||
|
|
|
0,2d13 |
0,2 × 753 |
||||||||||||
Wp1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
5,5 ×106 |
2 |
||||
τ III = |
|
|
IIIk |
= |
|
IIIk |
|
|
= |
|
|
|
= 53,7 Н/мм , |
|||
|
|
|
0,2d |
23 |
|
0,2 ×803 |
|
|||||||||
Wp2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14
τ IV |
= |
T |
= |
T |
= |
- 2 |
×106 |
|
2 |
Wp2 |
0,2d23 |
0,2 |
×803 |
= −19,5 Н/мм . |
|||||
|
|
IVk |
|
IVk |
|
|
|
|
|
Строим эпюру действительных напряжений кручения |
(рисунок 3). |
||||||||
4)Определяем полные углы поворота сечений вала по его длине:
=∙ ,
где l - длина рассматриваемого участка вала, |
|
|
|||||
- полярный момент инерции сечения. |
|
|
|||||
Для круглого сечения = 0,1 . |
|
|
|||||
Для диаметра d |
= 75мм, |
= 0,1∙754 = 3,2∙106 |
|
||||
Для диаметра |
1 = 80мм, |
= 0,1∙80 4 = 4,1∙106мм. |
|||||
Угол поворота сечения А - А, в котором вал |
закреплён неподвижно, равен |
||||||
|
мм. |
||||||
нулю, т. е. |
= 0. |
|
|
|
|||
Угол поворота сечения В-В: |
|
|
|||||
|
- 2 ×106 ×1,5×103 |
= − 0,9∙10-2 рад. |
|
|
|||
= |
∙ |
= |
|
|
|
||
0,8 ×105 × 4,1×106 |
|
|
|||||
Угол поворота сечения С-С состоит из суммы углов поворота сечения В-В и угла поворота сечения С-С по отношению к сечению B-В.
= |
+ |
= |
+ |
∙ |
= − 0,9 ∙10-2 + |
5,5×106 × 2 ×103 |
= 2,5∙10-2 рад |
0,8 ×105 × 4,1×106 |
.
Аналогично определяем углы поворота сечений Д-Д и Е-Е:
= + = +
= + = +
|
∙ |
= 2,5 ∙10-2 + |
2,5 ×106 ×103 |
|
= 3,5∙10-2 |
рад, |
||
|
|
0,8 ×105 ×3,2 ×106 |
||||||
|
∙ |
= 3,5 ∙ 10 |
+ |
,, ∙∙ ∙∙ ,, ∙∙ |
= 6,2 ∙ 10 |
рад. |
||
Строим эпюру углов поворота сечений по длине вала (рисунок 3).
15
|
1 |
|
|
|
|
c |
|
A |
F3 |
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
2A |
F2 |
|
|
I |
I |
||
|
|||
|
|
a |
|
A |
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
5 |
|
|
2A |
|
c |
|
|
F3 |
|
|
A |
|
b |
|
|
|
||
|
F2 |
|
|
A |
|
a |
|
|
|
||
I |
F1 |
I |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A |
|
|
|
|
|
c |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2A |
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
A |
F3 |
c |
|
|
|
|
|
A |
F2 |
b |
|
|
|
|
2A |
|
|
a |
I |
|
F1 |
I |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
A |
|
c |
|
|
|
|
|
|
F3 |
|
2A |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
2A |
|
|
a |
|
|
|
|
I |
|
F1 |
I |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
A |
F3 |
c |
|
|
|
|
2A |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
2A |
|
|
a |
|
|
|
|
I |
|
F1 |
I |
|
|
|
|
3 |
|
2A |
|
c |
|
F3 |
|
2A |
|
b |
|
|
|
I |
F2 |
I |
|
||
|
|
a |
|
A |
|
|
F1 |
|
|
7 |
|
|
A |
c |
|
|
|
|
F3 |
|
|
A |
b |
|
|
|
|
F2 |
|
2A |
|
a |
I |
F1 |
I |
|
|
|
|
11 |
|
2A |
|
c |
F3 |
|
|
|
|
|
|
A |
b |
|
|
|
I |
|
I |
2A |
F2 |
a |
|
F1 |
|
Рисунок 4 – Расчетные схемы к задаче № 1
4
A |
F3 |
c |
|
|
b |
2A |
|
|
|
F2 |
|
A |
|
a |
|
|
|
I |
F |
I |
|
1 |
|
|
8 |
|
2A |
|
c |
|
F3 |
|
A |
|
b |
|
|
|
|
F2 |
|
A |
|
a |
|
|
|
I |
F1 |
I |
|
12 |
|
A |
F3 |
c |
A |
|
b |
|
|
|
|
F2 |
|
2A |
|
a |
I |
F1 |
I |
|
|
16
|
|
|
|
T3 |
|
1 |
|
T2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
T1 |
|
|
T4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
T2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
d |
|
T |
d |
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
T4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T4 |
|
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
1 |
d |
T1 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T3 |
|
|
T4 |
4 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|||
d |
T1 |
d |
|
d |
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T4 |
|
|
T2 |
|
5 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
d |
|
|
d |
|
|
|
T3 |
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
T4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
T1 |
|
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
T3 |
T1 |
7 |
2 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|||
d |
d |
|
|
d |
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
T2 |
8 |
1 |
|
2 |
1 |
|
d |
T4 |
d |
|
d |
|
|
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T4 |
|
T2 |
|
|
9 |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
d |
d |
d |
|
d |
|
|
|
T3 |
|
|
T1 |
|
a |
b |
|
c |
a |
|
|
|
T1 |
|
T4 |
10 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
||
|
T2 |
d |
|
d |
|
|
|
|
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
11 |
|
|
2 |
|
1 |
|
T1 |
d |
|
d |
|
|
|
T3 |
T4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
T1 |
T2 |
|
|
12 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
d |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
T3 |
T4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
T2 |
|
13 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||||
d |
|
|
d |
d |
|
|
|
|
T4 |
|
T3 |
|
|
|
|
|
|
|
T4 |
|
T2 |
|
|
14 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
d |
d |
|
|
|
|
T3 |
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T4 |
T1 |
|
T2 |
15 |
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
d |
d |
|
|
|
|
|
|
T3 |
|
|
|
T |
|
T3 |
T1 |
16 |
2 |
4 |
1 |
2 |
|
d |
|
d |
d |
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
17 |
1 |
|
|
2 |
1 |
d |
|
T3 |
d |
d |
|
|
|
|
T1 |
T4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
T1 |
18 |
1 |
|
3 |
1 |
2 |
|
2 |
||||
d |
|
d |
d |
d |
|
|
|
T4 |
|
T2 |
|
|
|
a |
b |
c |
a |
Рисунок 5 – Расчетные схемы к задаче № 2
17
|
q |
F |
m |
|
F |
1 |
|
|
|
|
10 |
F |
q |
|
m |
|
q |
2 |
|
|
|
|
11 |
|
|
m |
|
|
q |
3 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
F |
|
|
F |
|
q |
m |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
m |
q |
|
5 |
|
|
|
|
14 |
F |
|
|
|
|
F |
F |
|
|
q |
m |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
F |
m |
|
|
|
|
q |
7 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
F |
F |
|
|
q |
|
m |
8 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
m |
q |
|
9 |
|
|
|
|
18 |
F |
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
c |
|
|
|
|
|
l |
|
m |
|
q |
F |
|
|
|
F |
m |
|
q |
|
m |
q |
|
q |
|
|
|
|
|
F |
|
|
m |
|
F |
|
q |
|
|
m |
|
q |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
q |
|
F |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
m |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
q |
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
q |
m |
q |
|
|
|
F |
|
|
|
|
a |
b |
c |
|
|
|
|
l |
|
|
|
Рисунок 6 – Расчетные схемы к задаче № 3
18
Изгиб
Изгиб балки вызывается действием поперечной нагрузки или внешних пар. Определение внутренних сил, действующих в поперечных сечениях балки,
следует начинать с определения реакций опор.
Для этого используют условия равновесия статики для плоской системы
сил: |
( ) = 0, ∑ |
( ) = 0. |
∑ |
А условие ∑ = 0 используют для проверки правильности определения значений реакций опор.
Используя метод сечений, строят эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов Ми, которые возникают в поперечных сечениях балки.
Сечение, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение, называют опасным. В этом сечении максимальное напряжение
|
= |
|
/ . |
[ ], |
Тогда условие прочности: |
= |
/ |
≤ |
|
где Wx – момент сопротивления при изгибе. |
|
|||
Задача № 3
Для заданной схемы балки требуетсяи написать выражения поперечной силы Q и изгибающегои момента для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и , найти Мmax и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при [ ] = 160 Н/мм2. Расчетные схемы представлены на рисунке 6, а числовые данные приведены в таблице 3.
Таблица 3 – Числовые данные к задаче № 3
Вари- |
|
|
|
|
Величины |
|
|
|
|
|
|
Изгибающий |
Сосредоточен- |
Равномерно |
|
анты |
а, м |
в, м |
с, м |
l, м |
распределенная |
||
|
|
|
|
|
момент m, кН∙м |
ная сила F, кН |
нагрузка q, кН/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
8 |
5 |
8 |
8 |
2 |
1,5 |
2,5 |
2 |
9 |
6 |
10 |
6 |
3 |
2 |
1,5 |
1,5 |
8 |
7 |
9 |
10 |
4 |
1,8 |
1,2 |
2 |
6 |
8 |
10 |
12 |
5 |
2 |
1,5 |
1,5 |
7 |
8 |
10 |
8 |
6 |
1,5 |
2,5 |
2 |
8 |
6 |
6 |
10 |
7 |
1 |
1,5 |
1,5 |
7 |
10 |
8 |
12 |
8 |
1,7 |
1,3 |
3 |
8 |
10 |
6 |
8 |
9 |
2 |
1,6 |
1,4 |
7 |
8 |
6 |
10 |
10 |
1,6 |
2 |
1,4 |
8 |
6 |
8 |
12 |
19
Пример 3 Для заданной схемы балки (рисунок 8) написать выражения
поперечной силы Q и изгибающего момента и для каждого участка в общем |
|
виде, построить эпюры Q и и найти |
Ммах и подобрать стальную балку |
двутаврового поперечного сечения при |
= 160 Н/мм2, если а = 1 м, b = 2,5 м, |
[ ]
с = 1,5 м, d = 2 м, = 6 Кн м, F = 10 кН, q = 6 кН/м.
Решение. Определяем реакции в опорах А и В. Балка АВ (рисунок 8) находится в равновесии под действием плоской системы сил уравнения равновесия для которой имеют вид:
1) |
∑ |
( |
) |
= 0; |
2) |
= 0; |
|||
∑ |
|
|||
3) ∑ |
= 0. |
|
||
|
|
( |
) |
|
|
Первое и второе из приведенных выше уравнений используем для |
||
определения реакций в опорах А и В, третье – для проверки. Если реакции |
|
и |
|
|
|||
|
определены верно, то третье условие будет выполняться, если нет – нужно |
||
|
|||
проверить расчёты.
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
c + d ö |
|
|
|
|||||||
å mA (Fi ) = -m - q(c + d )× |
çb |
+ |
|
|
|
|
|
|
÷ + F(b + c)+ RB (b + c + d ) = 0 |
|
|||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|||||||
= [ m + q (c +d) ∙ (b + |
|
|
|
|
|
|
) – (b +c) ] : (b + с + d) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
é |
|
æ |
|
1,5 + 2 ö |
|
|
ù |
|
|
|||||||||
RB = |
ê6 + 6(1,5 |
+ 2)×ç2,5 + |
|
|
|
|
|
|
÷ |
-10(2,5 +1,5)ú : (2,5 |
+1,5 + 2) = 9,21 |
кН |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
ë |
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
û |
|
|
|||||||
å mB |
( |
|
)= -m - RA (b + c + d )+ q |
(c + d )2 |
- F × d = 0 |
|
|
||||||||||||
Fi |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
[− + |
|
− |
|
|
∙ |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
= m q ( ) |
|
|
F d ] : (b +с +d) |
|
|
||||||||||||||
Откуда RА = êé- 6 + 6 |
(1,5 + 2) |
|
-10 × 2úù : (2,5 +1,5 + 2) = 1,79 кН |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ë |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
||
Проверяем, правильно ли определены значения реакций в опорах А и В:
åFiy = RA - q(c + d )+ F + RB = 0
åFiy = 1,79 - 6(1,5 + 2)+10 + 9,21 = 0
Обе реакции определены правильно, имеют положительные значения, следовательно, их направление на схеме указано верно (рисунок 8).
Для наглядногои представления о характере изменения изгибающего момента и поперечной силы по длине балки и для нахождения опасных сечений строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Для этого
20