MATLAB00 / Mironovskiy_Petrova1ML_ВЫЧ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Л. А. Мироновский, К. Ю. Петрова

ВВЕДЕНИЕ В MATLAB

Учебное пособие

Санкт Петербург 2006

УДК 681.3.06 ББК 22.18

М64

Мироновский, Л. А

М64 Введение в MATLAB: Учеб. пособие/ Л. А. Мироновский, К. Ю. Петрова; ГУАП. – СПб., 2006. – 164 с.: ил.

ISBN 5 8088 0176 1

Изложены структура, организация и язык программирования интегрированного математического пакета MATLAB. Описаны ос новные функции ядра пакета и некоторых тулбоксов (CONTROL, SYMBOLIC, SIGNAL, OPTIMIZATION). Рассмотрена методика ре шения задач линейной алгебры, оптимизации, линейных и нели нейных дифференциальных уравнений. Описано применение сис темы SIMULINK для структурного моделирования систем автома тического управления. Изложение сопровождается большим коли чеством примеров.

Учебное пособие предназначено студентам, обучающимся по на правлениям 220100, 552800, а также родственным специальностям и направлениям.

Рецензенты:

кафедра прикладной информатики Международного банковского института; доктор технических наук, профессор В. А. Слаев

Утверждено редакционно издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ISBN 5 8088 0176 1 © ГОУ ВПО «Санкт Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2006

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие написано на основе работы [6], вышедшей более 10 лет назад. За это время в структуре и командах пакета MATLAB произошли заметные изменения, а сам он прочно занял лидирующее положение среди математических пакетов, ориентированных на ре шение научно технических и инженерных задач. В его составе по явилась система визуального моделирования SIMULINK – эффектив ное и удобное средство для моделирования систем, заданных струк турными схемами.

К настоящему времени выпущено много руководств и справочни ков по MATLAB [1–6, 10–12, 14], содержащих подробное описание его обширной системы команд (их общее число давно перевалило за тысячу), расширений и приложений. Однако большинство из этих руководств неудобны для начинающего пользователя из за обилия представленного материала и перегруженности деталями.

Настоящее пособие предназначено для первоначального знаком ства с MATLAB и SIMULINK и содержит элементарные сведения о пакете. В первую очередь это относится к разделам 1–3, где даются минимальные сведения о MATLAB и SIMULINK, необходимые для выполнения лабораторных работ по курсу «Моделирование». Разде лы 4–6 предназначены для более глубокого знакомства с пакетом, в них подробнее описываются его графические и математические воз можности, файловая система, типы данных. Из многочисленных тулбоксов MATLAB в пособии кратко рассмотрены лишь некоторые, в частности CONTROL, SYMBOLIC и OPTIMIZATION.

3

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПАКЕТЕ

1.1. Структура пакета

Пакет MATLAB широко используется во всем мире при решении задач, связанных с матричными вычислениями. Название пакета об разовано путем сокращения от MATrix LABoratory (матричная лабо ратория). Операции и команды в MATLAB достаточно естественны и аналогичны математической записи формул на бумаге. MATLAB со здавался как пакет программ, реализующих наиболее эффективные вычислительные алгоритмы линейной алгебры. Он организован та ким образом, чтобы пользователь имел возможность применять при работе обычный математический язык.

В настоящее время пакет MATLAB представляет собой развитую интегральную программную среду, включающую собственный язык программирования. Он дает пользователю возможность быстро вы полнять различные операции над векторами и матрицами, такие как умножение и обращение матриц, вычисление определителей, нахож дение собственных чисел и векторов. Кроме того, в MATLAB входят операции вычисления обычных функций (алгебраических, тригоно метрических, логических), решения алгебраических и дифференци альных уравнений, операции построения графиков и ряд других.

MATLAB является языком высокого уровня. По отдельным его командам можно выполнять такие сложные операции, как нахожде ние корней полиномов, решение линейных и нелинейных алгебраи ческих уравнений, моделирование линейных динамических систем. Указанные операции являются элементарными функциями MATLAB.

Помимо ядра, содержащего вычислительные алгоритмы общего назначения, в пакете MATLAB реализовано несколько десятков так называемых тулбоксов (библиотек специализированных подпрог рамм), предназначенных для решения разнообразных практических задач. Например, тулбокс SYMBOLIC предназначен для выполнения символьных вычислений, а тулбокс CONTROL – для расчета и моде лирования систем автоматического управления.

4

Вместе с пакетом MATLAB поставляется также среда для визу ального моделирования структурных схем SIMULINK, технология работы в которой в значительной степени копирует технику модели рования на аналоговых вычислительных машинах.

Общая структура системы MATLAB поясняется рис. 1.1. Его вер хняя часть соответствует ядру MATLAB, содержащему быстро вы полняемые встроенные функции (сложение, умножение, тригономет рические и другие базовые функции) и так называемые m функции, алгоритмы выполнения которых написаны на языке MATLAB. Сле ва внизу показано семейство тулбоксов, каждый из которых содер жит несколько десятков m функций, справа – среда SIMULINK и свя занные с ней средства (расширения и библиотеки блоков для разных приложений).

1.2. Начало работы

Запуск и элементарные операции

При запуске MATLAB, как правило, открывается интерфейс, ко торый содержит меню, панель инструментов и два окна – командное окно (Command Window) и окно рабочего пространства (Workspace). В случае если командное окно или окно рабочего пространства отсут ствует, их можно активизировать во вкладке меню “View”.

Командывводятсявдиалоговомрежименепосредственновкоманд ное окно. Например, для того чтобы вычислить значение sin30 , надо в командном окне набрать текст sin(pi/6) и нажать клавишу Enter. На экране появится ответ ans=0.5. Если мы хотим построить график фун кции y=sint на интервале , то сначала следует сформировать массив значений аргумента (для этого в командном окне набираем t=0:.1:10;), а затем набираем текст y=sin(t); plot(t, y). Разделительный знак «точка с запятой» ставится, чтобы не выводить на экран результа ты промежуточных вычислений. После нажатия Enter в графическом окне появится график синусоиды (рис. 1.2). При желании его можно снабдить надписями и нанести координатную сетку (команда grid).

В дальнейшем обе переменные t, y (каждая из них представляет собой массив из 101 числа) сохраняются в рабочем пространстве MATLAB и доступны для использования.

Вместо того чтобы набирать команды в окне MATLAB, их можно записать в текстовый файл с расширением .m (он называется m файл или файл сценарий). Имя файла может быть любым, например vova.m. Для того чтобы запустить файл сценарий, достаточно набрать его имя (без расширения) в командном окне: >> vova

6

>>t=0:.1:10; y=sin(t); plot(t,y), grid

Рис. 1.2

Чтобы MATLAB «увидел» файл, либо поместите его в стандар тный рабочий каталог, например C:\MATLAB \work\, либо укажите путь к нему.

В разобранном примере использовалась функция sin. В состав MATLAB входят команды для вычисления более 50 элементар ных функций. Обозначения наиболее употребительных из них при ведены ниже:

Впервом столбце перечислены команды для выполнения четырех арифметическихдействий.Второйстолбецсодержитоперациивозведе ния в квадрат, извлечения квадратного корня и взятия абсолютной ве личины (для комплексных чисел – модуля). Для вычисления каждой изэтихфункцийнужновкруглыхскобкахуказатьзначениеаргумента (например, sqrt(4) даст ответ 2).

Втретьемстолбцеперечисленыкомандыдляполученияэкспоненты

илогарифмов(натуральногоидесятичного),напримерexp(1) дастчисло е = 2,71828… Четвертый и пятый столбцы содержат прямые и обратные тригонометрическиефункции,авпоследнем,шестомстолбценаходят сякомандыдлявычислениягиперболическихфункций,которыеврус ской технической литературе обозначаются символами sh, ch, arcsh. Заметим, что аргумент функций sin, cos должен указываться в радиа нах, если задавать его в градусах (degree), то надо использовать коман ды sind, cosd (впервые они появились в MATLAB 7). Например, sin(pi/ 6) и sind(30) дадут один и тот же результат ans = 0.5000. Аргументом каждой из функций может быть число или вектор (набор чисел,

7

массив). Например, набрав sind([0, 30, 90]) получим ans=0 0.5000 1.0000.

Дляоперативногополучениясправокобэтихидругихкомандахис пользуется команда help. Например, набрав

>> help sind,

получимсправку:

SIND Sine of argument in degrees. SIND(X) is the sine of the elements of X, expressed in degrees.

For integers n, sind(n*180) is exactly zero, whereas sin(n*pi) reflects the accuracy of the floating point value of pi.

See also asind, sin.

Ввод числовых данных

Перечислимнесколькопростыхкоманддлявводачисловыхданных в виде векторов и матриц. Самый простой способ формирования векто ров и матриц в MATLAB заключается в непосредственном вводе их эле ментов с клавиатуры. Например, набирая на клавиатуре данные Х =[1 2 3 8 5 6],получаемодномерныймассив(вектор строку)Х изшести элементов.

Формированиевектора строкиизравноотстоящихзначенийаргумента выполняетсяспомощьюкомандыx=x0:h:xn.Поумолчаниюшагhприни маетсяравным1.Например,командаx=0:10 даетцелыечислаот0до10, а x=0:0.1:10 задает набор значений аргумента от нуля до 10 с шагом 0.1.

Двумерныемассивызадаютсяввидематриц,приэтомстрокиразде ляются символом «точка с запятой». Элементы одной и той же строки могут разделяться как пробелами, так и запятыми:

Для доступа к элементам массива используются круглые скобки:

Для получения строки или столбца матрицы используется сим вол «двоеточие»:

В MATLAB имеется ряд команд, облегчающих формирование век торов и матриц:

8

Команда linspace используется для получения набора равноотсто ящих значений аргумента. Например, х=linspace(xmin,xmax) создаст массив из 100 значений аргумента между точками хmin и xmax. Если требуется иметь другое число точек, например N точек на интервале от 0 до 10, следует записать x=linspace(0,10,N). Аналогичные модифи кации имеет команда logspaсe, обеспечивающая логарифмическое расположение точек массива.

Для создания некоторых распространенных матриц имеются ко манды zeros, ones, eye и diag. Команды zeros и ones создают мат рицы, заполненные нулями и единицами. Так, по командaм A=zeros

(3) и B=ones(3) будут сформированы матрицы

а по командам C=zeros(1,4) и D=ones(1,4) – векторы строки

C=0 0 0 0 и D=1 1 1 1.

Команда eye предназначена для создания единичной матрицы (она часто обозначается буквой I, название которой произносится как слово «eye») или ее фрагмента.

Команда eye(size(A)) даст единичную матрицу того же размера, что и матрица А.

Команда diag имеет два различных назначения. Если ее аргу ментом является матрица, то результатом будет вектор, содержа щий элементы, стоящие на диагонали. Если же аргументом явля ется вектор, то команда diag создает матрицу с заданной диагона лью и остальными нулевыми элементами.

Например, применяя команду diag к приведенной выше матри це В, получим строку [1 1 1], а повторное применение команды diag даст единичную матрицу Е.

1.3. Построение графиков

ОсновноесредстводляпостроенияграфиковвMATLAB–этокоман да plot и различные ее модификации. Она может вызываться с одним илинесколькимивходнымиаргументами.

9

Стандартный вариант ее вызова – это plot(x,y), где x и y – два масси ва чисел, содержащие абсциссы и ординаты точек графика функции y = f(x). Выше был приведен пример построения графика синусоиды, аналогично строятся графики любых других функций. При этом вы черчивание осей и выбор масштабов по ним производится автомати чески. В случае, если вызов команды plot производится с одним аргу ментом в формате plot(y), координатами x служат индексы массива y.

Для того чтобы снабдить рисунок координатной сеткой, исполь зуется команда grid. Вызов ее без параметров осуществляет переклю чение режимов «с сеткой»/«без сетки», а задание grid on и grid off явно указывает, следует включить сетку или отключить.

Иногда на одном графике требуется нарисовать несколько кри вых. В этом случае в команде plot указывают несколько пар аргумен тов (по числу функций) plot(х1, у1, х2, у2, ..., хn, уn), где х1, у1; х2, у2 и

т. д. – пары векторов. Каждой паре x, y будет соответствовать свой график, при этом они могут быть заданы векторами разной длины.

Пример. Пусть требуется построить графики затухающих коле баний x(t) 1 e 0,2t sint , y(t) 1 e 0,2t cost , причем аргумент t изменяет ся от 0 до 10 с шагом 0,1. Это делается с помощью следующей группы команд:

>>t=0:.1:10; x=exp( .2*t).*sin(t); y=exp( .2*t).*cos(t); plot(t, x, t, y), grid.

Результат показан на рис. 1.3. Использование точки перед зна ком * (умножение) при вычислении переменных х, y, указывает на поэлементное перемножение массивов чисел (каждая из функций sin t, cos t, e–0,2t, представлена вектором из 101 точек).

Добавляя команду plot(x,y), grid, получим график логарифмичес кой спирали, показанный на рис. 1.4.

10