Задания для самостоятельной работы

1. Перевести число в двоичную систему счисления. Выполнить обратный перевод этих чисел.

2. Перевести число в восьмеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод этих чисел.

3. Перевести число в шестнадцатеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод этих чисел.

Где х=:

1. для группы «А» ;

2. для группы «Б» ;

3. для группы «В» ;

4. для группы «Г» :

5. для группы «Д» ;

6. для группы «Е» ;

n-порядковый номер студента в группе.

Самостоятельная работа №2 Перевод дробных чисел в различные системы исчисления

Цель работы: приобретение практических навыков перевода дробных чисел

Предположим, что правильную дробь, представленную в системе с основанием q, требуется перевести в систему счисления с основанием р. Перевод осуществляется по следующему правилу:

- исходное число умножаем на новое основание р;

- полученная при этом целая часть произведения является первой искомой цифрой;

- дробную часть снова умножаем на основание р и т.д.

Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:

1. перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [х]₁₀ , а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р; изображение [х]_p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого;

2. перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}_10, для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}_p ; изображение {х}_p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части;

3. результат будет иметь вид (х)_р = [х]_p, {х}_p .

Пример 2.1 Перевести число 0,1875₁₀ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы. 

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей. Результат:  0,1875₁₀  = 0,14₈ = 0,113₁₆.

Пример 2.2 Необходимо перевести дробное число в двоичную систему исчисления 999,35₁₀=1111100111,01011₂ :

для целой части:

для дробной части:

Задания для самостоятельной работы

1. Перевести число x₁₀ в двоичную, восьмеричную, а также шестнадцатеричную системы исчисления.

Где х=:

1. для группы «А» ;

2. для группы «Б» ;

3. для группы «В» ;

4. для группы «Г» ;

5. для группы «Д» ;

6. для группы «Е» ;

n-порядковый номер студента в группе. При этом x необходимо округлить до тысячных чисел.

Самостоятельная работа №3 Выполнение арифметических операций в системах счисления

Цель работы: приобретение практических навыков выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления

Во всех вышеперечисленных системах исчисления возможны все арифметические операции, к которым мы привыкли в десятичной системе. То есть сложение, вычитание, умножение, деление. Правда на практике, никто не занимается восьмеричной и шестнадцатеричной арифметикой. Это не имеет никакого смысла. А вот арифметика в двоичной системе была подробно проработана.

В двоичной системе исчисления сложение делается точно так же, как и в десятичной. Только нужно помнить, что в этой системе каждый разряд может принимать значение либо 0, либо 1. Берем два двоичных числа и складываем их.

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам:

0 + 0 = 0,

0 + 1 = 1,

1 + 0 = 1,

1 + 1 = 2₁₀ = 10₂ (единица идет в старший разряд).

Вычитания в двоичной системе счисления имеет вид:

0 – 0 = 0,

1 – 0 = 1,

1 – 1 = 0,

0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).

Пример 3.1 Необходимо сложить два числа, представленных в двоичной системе исчисления 10011001110 + 11000101110.

+	10011001110
	11000101110
101011111100

Умножение тоже делается так же, как в десятичной системе – столбиком. При этом очевидно, что любое число, умноженное на ноль, дает в результате ноль. А число, умноженное на единицу, дает в результате то же самое число.

Как легко увидеть из примера, умножение в двоичной системе исчисления сводится к сдвигу первого числа влево и сложению, полученных сдвигом чисел. Точно также легко убедиться, что деление в двоичной системе сводится к сдвигу и вычитанию. Это важно при построении вычислительных устройств. Именно поэтому многие простые микропроцессоры не имеют в составе своих команд, команд умножения и деления. Но обязательно, каждый процессор имеет команды сдвига, сложения и вычитания. Если программисту нужно деление, он всегда может составить небольшую программу умножения, используя команды сдвига и сложения.

Пример 3.2 Необходимо умножить два числа, представленных в двоичной системе исчисления 10011001110 * 11000101110.

		x	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
										1	0	1	1
			1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
+		1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	0
1	1	0	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1	0

Как легко увидеть из примера, умножение в двоичной системе исчисления сводится к сдвигу первого числа влево и сложению, полученных сдвигом чисел. Точно также легко убедиться, что деление в двоичной системе сводится к сдвигу и вычитанию. Это важно при построении вычислительных устройств. Именно поэтому многие простые микропроцессоры не имеют в составе своих команд, команд умножения и деления. Но обязательно, каждый процессор имеет команды сдвига, сложения и вычитания. Если программисту нужно деление, он всегда может составить небольшую программу умножения, используя команды сдвига и сложения.

В данной практической работе также необходимо рассмотреть операцию вычитания, заменяя данную операцию сложением, при этом знак положительного числа кодируется цифрой 0, а знак отрицательного – кодируется 1.

Вычитание представляет собой алгебраическое сложение в обратном коде. Положительные числа записываются в прямом коде, а отрицательные – в обратном коде. Обратный код отрицательного числа получается поразрядной заменой в числе нулей на единицы, а единицы на нули.

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1).

Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде:

1. 10011 →двоичное число,

01100 →обратный код этого двоичного числа,

01101 →дополнительный код этого двоичного числа;

2. 457 →восьмеричное число,

321 →дополнительный код;

3. А9 →шестнадцатеричное число,

57 →дополнительный код.

Пример 3.3 Выполнить сложение двух чисел (83 и 3) в двоичной системе счисления. Оба числа положительные.

Например,

Переведем числа 83 и 3 из десятичной системы счисления в двоичную и уравняем количество разрядов в двоичных числах. Получаем:

Цифра 0. в знакомом разряде означает, что число положительное.

Произведем сложение двоичных чисел:

0.1 010 011

0.0 000 011

_________

0.1 010 110

Число, полученное в результате сложения, - положительное. Значит оно записано в прямом коде. Переведем это число в десятичную систему счисления и получаем 86.

Пример 3.4 Выполнить сложение двух чисел (83 и -3) в двоичной системе счисления. Первое число – положительное, второе – отрицательное.

Представим число –3 в обратном коде:

Произведем сложение:

0.1 010 011

1.1 111 100

___________

10 .1 001 111

Знаковый разряд содержит две цифры 1 и 0. Это значит, что произошло переполнение знакового разряда. Т.к. знаковый разряд сможет содержать только одну цифру 0 или 1. Поэтому 1, стоящую в знаковом разряде, нужно перенести в младший разряд и снова произвести сложение, т. е.

0.1 001 111

1

__________

0.1 010 000

В знаковом разряде стоит цифра 0. Это значит, что полученное число положительное и записано в прямом коде. Поэтому переведем число из двоичной системы счисления в десятичную. Получим 80.

Пример 3.5 Выполнить сложение двух чисел (-83 и -3) в двоичной системе счисления. Оба числа – отрицательные.

Поскольку, оба числа отрицательные, то и представим оба числа в обратном коде.

Произведем сложение в двоичной системе счисления:

1.0 101 100

1.1 111 100

____________

11.0 101 000

Поскольку знаковый разряд содержит две цифры, то произошло переполнение знакового разряда. Поэтому крайнюю левую 1 переносим в младший разряд и снова произведем сложение:

1.0 101 000

1

__________

1.0 101 001

Переведем это число в прямой код (т. к. знаковый разряд содержит цифру 1), а затем в десятичную систему счисления.

Сложение и умножение в 8-ричной системе выполняется согласно таблице 3 и 4:

 Таблица 1 – Результаты сложения в восьмеричной системе

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	И	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

 

Таблица 2 – Умножение в восьмеричной системе

X	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61