20. Определение прогибов балок методом начальных параметров.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно при­менить метод начальных параметров, суть которого в сле­дующем.

Рис. 5.24

      Рассмотрим балку (рис. 5.24) с постоянным поперечным сече­нием, нагруженную вза­имоуравновешенной си­стемой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикаль­ные перемещения сече­ний балки в положи­тельном направлении оси y). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось z проходила вдоль оси балки, а ось y была бы направлена вверх. На балку действуют: момент М, сосре­доточенная сила Р и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 5.24).

      Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вноси­мые в уравнение упругой линии, различными типами внешних си­ловых факторов. Для этого составим выражение изгибающих мо­ментов для каждого из пяти участков заданной системы.

Участок I  M_x (z) = 0.

Участок II M_x (z) = M.

Участок III  M_x (z) = M + P (z  l₂).

Участок IV  M_x (z) = M + P (z  l₂) + .

Учток V M_x (z) = M + P (z  l₂) + .

      На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

      Для вывода обобщенного выражения  изгибающего мо­мента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z > l_i и иг­норировать при z  l_i . На основании этого, обобщенное выражение момента M_x (z) для произвольного сечения z может быть записано единой формулой:

M_x (z) = M+ P (z  l₂) +

.                                                       (5.20)

      Подставляя (5.20) в (5.19) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

E I_x y (z) = C₀ + C₁ z ++

+.                                      (5.21)

      Постоянные интегрирования C₀ и C₁ по своей сути означают:

C₀ = E I_x y (0) , C₁ =     (5.22)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

E I_x y (z) = E I_x y₀ + z +++

+.                                      (5.23)

      Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E I_x  (z) = ++

+.                                      (5.24)

      Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба y₀ , угла поворота ₀ в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.