16. А) Изгиб стержней. Б)Предпосылки теории изгиба.С) Виды изгиба. Д)Внутренние силовые факторы.Е) Дифференциальные зависимости при изгибе.

. Под изгибом понимают такой вид нагружения, при к-ом ось стержня искривляется (изгибается) от действия нагрузок, расположенных перпендикулярно оси. Изгибу подвергаютя валы всех машин от действия сил, пары сил – момента в местах посадки зубчатых колес, шестерен, полумуфт.

1) Изгиб назыв чистым, если в поперечном сечении стержня возникает единственный силовой фактор – момент изгибающий, остальные внутренние силовые факторы равны нулю. Образование деформаций при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота плоских поперечных сечений одно относительно другого. σ=М_у/J_x – формула Навье для определения напряжений. ε=у/ρ – продольная относительная деформация. Диф зависимости: q=dQz/dz, Qz=dMz/dz. Условие прочности: σ_max=М_max/W_x≤[σ]

2) Изгиб назыв плоским, если силовая плоскость, т.е. плоскость действия нагрузок, совпадает с одной из центральных осей.

3) Изгиб назыв косым, если плоскость действия нагрузок не совпадает ни с одной из центральных осей. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию σ=0, назыв нейтральной линией сечения, она перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня.

4) Изгиб назыв поперечным, если в поперечном сечении возникает момент изгибающий и поперечная сила. τ=QS_x^отс/bJ_x – формула Журавского, τ_max=Q_maxS_xmax/bJ_x≤[τ] – условие прочности. Полная проверка прочности балок при поперечном изгибе заключается в определении размеров поперечного сечения по формуле Навье и дальнейшей проверки по касательным напряжениям. Т.к. наличие τ и σ в сечении относится к сложному нагружению, то оценку напряженного состояния при совместном их действии можно вычислить, используя 4 теорию прочности σ_экв4=√σ²+3τ²≤[σ].

Д) Что понимается под внутренними силовыми факторами и как они определяются ? Под действием внешних нагрузок в сечении конструкции (стержня, балки и т.д.) возникают дополнительные усилия, которые называются внутренними силовыми факторами и которые определяются методом сечения. Это реакция связи одной отсеченной части на другую, реакция опоры на тело, реакция гибкой связи и др. Силы воздействия отсеченной части на рассматриваемый элемент конструкции по отношению к нему являются внешними силами и определяются по общим уравнениям  равновесия.

Внутренние силы. Способ сечений. Расчет на прочность или жесткость элемента можно выполнить, если известны возникающие в нем внутренние силы. В основе их определения лежит способ сечения, сущность которого рассмотрим на конкретном примере. Пусть стержень нагружен уравновешенной системой сил F и требуется определить внутренние силы в поперечном сечении а - а. Плоскостью П разрезаем мысленно стержень по сечению а - а на две части. Затем отбрасываем одну из частей. В рассматриваемом примере оставляем правую часть. Действие отброшенной части на оставленную заменяем внутренними силами, распределенными по всей площади сечения а - а. В общем случае нагружения стержня внутренние силы приводятся к главному моменту М и главному вектору R, приложенному в центре тяжести сечения (рис. 1). Вводим правую систему координат ^ XYZ, начало которой совпадает с центром тяжести сечения, а ось Z совмещена с внешней нормалью к сечению, т.е. с осью стержня. Оси X и Y лежат в плоскости сечения. Главный вектор R разложим по осям X, Y и Z на составляющие Q_x, Q_y и N, а главный момент М – на составляющие М_х, М_у, М_z соответственно. Составляющие главного вектора R и главного момента М называются внутренними силовыми факторами (внутренними усилиями) в сечении а–а. Им присваиваются названия: N – продольная сила; Q_x, Q_y – поперечные силы; М_х, М_у – изгибающие моменты; М_z – крутящий момент. Для определения каждого из внутренних усилий надо составить соответствующее уравнение равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть стержня. Известно, что для пространственной системы произвольно расположенных сил может быть составлено шесть таких уравнений. В каждое из них войдет лишь одно внутреннее усилие, которое и определяется из этого уравнения. Например, для определения продольной силы N проецируются силы, приложенные к оставленной части стержня, на ось Z, т.е. составляется уравнение F_i() = 0. Откуда следует: в произвольном поперечном сечении стержня продольная сила численно равна алгебраической сумме проекций на ось Z всех внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения. Аналогично формулируются правила для отыскания и других внутренних усилий. Так, для нахождения внутренних усилий в любом сечении при любом нагружении стержня внешними силами нужно: -разрезать стержень по этому сечению; -отбросить одну часть стержня; -заменить внутренними усилиями действие отброшенной части на оставленную часть; -из уравнений равновесия, составленных для оставленной части, найти внутренние усилия

Е) Изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки связаны следующими зависимостями (зависимостями Д.Н.Журавского)

Выводы:

1 Если на некотором участке балки отсутствуюет распределенная нагрузка (q=0), то  эпюра Q – прямая, параллельная к оси абсцисс (Q=const), а эпюра М на этом участке наклонная прямая.

 2 Если на некотором участке есть равномерно распределенная нагрузка, то эпюра Q – наклонная прямая, параллельная оси абсцисс (Q=const), а эпюра М – парабола

3.Если на некотором участке балки: Q>0, то изгибающий момент возрастает, Q<0,то изгибающий момент убывает, Q = 0, то изгибающий момент постоянный

4 Если поперечная сила, изменяясь по линейному закону, проходит через нулевое значение, то в соответствующем сечении изгибающий момент будет иметь экстремум.

5 Под сосредоточенной силой на эпюре Q образуется прыжок на величину приложенной силы, а на эпюру М – резкое изменение угла наклона соседних участков.

6 В сечении, где приложена пара сил, эпюра М будет иметь прыжок на величину момента пары. На эпюре Q это не отразиться.

7 Если равномерно распределенная нагрузка  направлена вниз (вторая производная, которая характеризует кривизну линии),  эпюра М обращена выпуклостью вверх, навстречу нагрузке.

17.а) чистый изгиб. Б)Основные гипотезы. С)Вывод формулы для кривизны стержня и нормальных напряжений при чистом изгибе. Д) Условия прочности.

А)Чистый изгиб – плоский изгиб, при котором в сечениях стержня из шести внутренних усилий возникает только одно – изгибающий момент . Деформация чистого изгиба будет если к брусу, плоскости проходящей через ось приложить 2 равные но противоположные по знаку пару сил. На изгиб работают балки, оси, валы.

а – на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры M – наклонными прямыми; б – на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры M – квадратичными параболами. При этом, если эпюру М строим «на растянутом волокне», то выпуклость па раболы будет направлена по направлению действия q, а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию; в – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила на эпюре ^ Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М – пе-регибы, острием направленные в направлении действия этой силы; г – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент на эпю-ре ^ Q изменений не будет, а на эпюре М – скачки на величину этого момента; д – на участках, где Q>0, момент М возрастает, а на участках, где Q<0, мо-мент М убывает (см. рисунки а–г).

ΣF_y=0=> Q_y=0

_ΣMy=0 => M_z=M₀ ( изгибающий момент М_z и поперечная сила Q_{y. )}

_Б) Таких гипотез при изгибе три: а – гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) – сечения плоские до деформации остаются пло-скими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от ней-тральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют; б – гипотеза о постоянстве нормальных напряже-ний – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса; в – гипотеза об отсутствии боковых давлений – со-седние продольные волокна не давят друг на друга. Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле: где W_z – осевой момент сопротивления При растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения равномерно распределенные по сечению.форма сечения на напряжение не влияет. Во всех сечениях бруса напряжение распределено равномерно и в сечении где к брусу вдоль оси приложена сосредоточенная сила значение продольной силы и напряжения меняется скачкообразно. относительное удлинение.

С)