ЛАБ_ПРАК_MathCad
.pdf
max( vy)+2
2
fl(z)
vy
0
min( vy)−2
0 |
2 |
. |
min( vx)−0.1 |
z, vx max( vx)+0.1 |
7.Коэффициенты для квадратичного сплайна Sp определяются с помощью функции пользователя pspline
Sp := pspline(vx,vy) .
Сформируем значения сплайна fp в точке x
fp( X) := interp(Sp,vx,vy , X) .
График строится аналогично рассмотренному выше.
8. Для получения коэффициентов кубического сплайна используется встроенная функция cspline, а все последующие действия аналогичны рассмотренным выше в пунктах 6 и 7.
31
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 «Решение уравнений и систем»
Цель работы: С помощью средств MathCad научиться находить графическое, аналитическое, численное решения уравнений. Исследовать на разрешимость системы уравнений.
Рекомендуемая литература: [1-5, 10].
Задание:
1.Найти все корни уравнения n-ой степени: графически, численно и аналитически.
2.Сделать проверку полученного решения.
3.Найти численное и графическое решение трансцендентного уравнения.
4.Сделать проверку полученного решения.
5.Исследовать систему уравнений на разрешимость. Построить график.
6.Решить систему уравнений.
7.Сделать проверку полученного решения.
Таблица № 3.1: Варианты для лабораторной работы «Решение уравнений и систем»
№ |
Уравнение |
Трансцендентное |
вар. |
второй |
уравнение |
|
степени |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2x2-5x-3=0 |
e-x=cos(x) |
2 |
3x2-8x+5=0 |
x=tg(x) |
3 |
5x2+9x+4=0 |
sin2(x)=e2x |
|
|
|
32
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
4 |
36x2-12x+1=0 |
cos(x) = ex2 |
|
|
||||||||||||||
5 |
3x2-3x+1=0 |
tg2(x)-esin(x)=0 |
||||||||||||||||
6 |
x2+9x-22=0 |
e |
−x |
2 |
|
|
−cos |
2 |
(x) = 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
7x2-11x-6=0 |
tg(x)-8ln(x)=0 |
||||||||||||||||
8 |
x2-12x+32=0 |
e |
x2 |
|
|
−ln(x |
2 |
) |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9 |
3x2-10x+3=0 |
ln(x)=e-x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 |
x2-8x-84=0 |
cos(2x) −ex2 +5 = 0 |
||||||||||||||||
11 |
16x2+8x+1=0 |
e−x2 −sin(x) cos(x) = 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
x2+14x+33=0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
−cos |
|
|
(x) = 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13 |
5x2+26x-24=0 |
tg2(x)-ecos(x)=0 |
||||||||||||||||
14 |
x2-34x+289=0 |
x2=cos(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15 |
10x2-9x+2=0 |
x3+1=tg(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
16 |
x2+48x+11=0 |
ln(x)=cos(2x) |
||||||||||||||||
17 |
7x2-56x+20=0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
cos |
|
|
= tg(x) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18 |
4x2+x-8=0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−x |
||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
19 |
2x2-5x+3=0 |
ex2 |
|
|
|
=1− x3 |
|
|
||||||||||
20 |
5x2+2x-3=0 |
x2+1=cos(x2) |
|
|
||||||||||||||
21 |
2x2-5x-7=0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
= e−x3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 |
+ |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
22 |
x2-11x+20=0 |
|
xex2 |
|
|
|
= sin(2x) |
|||||||||||
23 |
-x2+6x-5=0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
x2 |
+1 |
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||
24 |
-x2-5x+6=0 |
x3+1=sin(x3) |
|
|
||||||||||||||
33
1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
25 |
7x2-10x-8=0 |
1 |
|
|
= tg(x) |
|||||
|
|
|
(x +1)3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
26 |
x2+9x-28=0 |
|
x |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
27 |
x2-3x+1=0 |
sin(2 −3x) = |
1 |
|
||||||
|
|
5x +3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
28 |
2x2+3x-1=0 |
|
x = e−x2 |
|
|
|
|
|||
295x2-15x-31=0 ln(3+x2)=e-x
307x2-4x-23=0 x2+1-6=cos(2x)
Таблица № 3.2: Варианты для лабораторной работы «Решение уравнений и систем»
№ |
Матрица |
Вектор |
|||||
вар. |
|
системы |
правой |
||||
|
|
|
|
|
части |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
1 |
−1 |
0 |
|
1 |
||
|
A = |
0 1 3 |
f = |
3 |
|||
|
2 1 6 |
− 2 |
|||||
2 |
−1 |
2 |
1 |
|
5 |
||
|
A = |
2 −3 3 |
f = |
1 |
|||
|
0 |
1 −5 |
−9 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
3 |
−3 |
1 |
3 |
|
10 |
||
|
|
0 |
|
|
|
−4 |
|
|
A = |
− 2 −1 |
f = |
|
|||
|
|
2 |
−1 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
2 −1 1 |
|
|
−15 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
−1 0 3 |
|
f = |
− 2 |
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
5 |
|
1 −3 1 |
|
−1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
A = |
1 −2 − 4 |
f = |
|
||||
|
|
−2 |
−1 |
0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
|
4 7 −3 |
|
|
−2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
2 9 −1 |
|
f = |
−11 |
|||
|
|
−1 |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|||
7 |
|
2 |
4 −3 |
|
−10 |
|||
|
|
−1 5 − 2 |
|
|
8 |
|
||
|
A = |
|
f = |
|
||||
|
|
3 |
− 2 |
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
8 |
−3 5 −6 |
−10 |
||||||
|
A = |
2 −3 5 |
f = |
5 |
||||
|
1 |
4 −1 |
3 |
|||||
9 |
1 3 − 2 |
|
−5 |
|||||
|
A = |
1 9 − 4 |
|
f = |
8 |
|||
|
− 2 6 −3 |
|
1 |
|||||
10 |
− 2 |
1 −3 |
−5 |
|||||
|
A = |
4 |
7 − 2 |
f = |
−1 |
|||
|
1 −8 5 |
6 |
||||||
35
11 |
2 −1 −6 |
−4 |
|||||||
|
A = |
3 −1 |
3 |
f = |
−6 |
||||
|
−1 0 |
3 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
12 |
|
0 − 2 −5 |
|
−12 |
|||||
|
|
− 2 −1 3 |
|
|
7 |
|
|||
|
A = |
|
f = |
|
|||||
|
|
−1 |
1 |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13 |
|
−1 |
0 |
2 |
|
|
5 |
||
|
|
2 |
2 5 |
|
|
|
|
||
|
A = |
|
|
f = |
10 |
||||
|
|
3 |
− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||||
14 |
|
−1 1 −1 |
|
0 |
|||||
|
|
3 − 4 3 |
|
|
−1 |
|
|||
|
A = |
|
f = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
0 − 2 −3 |
|
|
|||||
15 |
3 − 2 0 |
|
−5 |
||||||
|
A = |
1 − 2 1 |
|
f = |
−1 |
||||
|
1 3 −1 |
|
0 |
||||||
16 |
−1 |
3 |
0 |
|
4 |
||||
|
A = |
3 − 2 1 |
f = |
−3 |
|||||
|
2 |
1 −1 |
−3 |
||||||
17 |
1 −5 3 |
−1 |
|||||||
|
A = |
2 |
4 |
1 |
f = |
6 |
|||
|
−3 3 −7 |
−13 |
|||||||
36
18 |
− 2 5 −6 |
−8 |
||||||||
|
A = |
1 7 −5 |
f = |
−9 |
||||||
|
4 2 −1 |
−12 |
||||||||
19 |
3 |
−9 |
8 |
|
|
5 |
||||
|
A = |
2 |
−5 5 |
|
f = |
4 |
||||
|
2 −1 1 |
|
− 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
20 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
4 |
|
||
|
|
4 −1 5 |
|
|
|
6 |
|
|
||
|
A = |
|
|
f = |
|
|
||||
|
|
1 |
−2 |
4 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21 |
|
1 |
7 |
− 2 |
|
3 |
||||
|
|
3 5 1 |
|
|
5 |
|
||||
|
A = |
|
f = |
|
||||||
|
|
− 2 5 −5 |
|
|
−4 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
22 |
|
3 |
−5 |
1 |
|
|
2 |
|
||
|
A = |
8 |
−6 3 |
|
f = |
7 |
|
|||
|
2 4 5 |
|
3 |
|
||||||
23 |
−3 2 −1 |
9 |
||||||||
|
A = |
5 −3 4 |
f = |
3 |
||||||
|
1 |
7 −6 |
15 |
|||||||
24 |
3 |
1 |
−3 |
10 |
||||||
|
A = |
4 |
5 −7 |
f = |
20 |
|||||
|
2 −3 −1 |
0 |
||||||||
37
25 |
1 1 −3 |
|
−1 |
|||||
|
A = |
7 −3 −7 |
|
f = |
4 |
|||
|
4 −1 5 |
|
6 |
|||||
26 |
1 4 |
|
−3 |
−1 |
||||
|
A = |
3 −7 −10 |
f = |
− 4 |
||||
|
2 5 |
|
1 |
2 |
||||
27 |
1 |
0 |
3 |
|
|
1 |
||
|
A = |
3 − 2 8 |
|
f = |
− 4 |
|||
|
−1 2 2 |
|
−6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
28 |
|
3 −8 −7 |
|
1 |
||||
|
|
−1 |
7 |
−5 |
|
|
|
|
|
A = |
|
f = 1.5 |
|
||||
|
|
1 |
6 |
−3 |
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
||||
29 |
|
1 |
8 |
−6 |
|
3 |
||
|
A = |
−2 −3 1 |
f = |
− 2 |
||||
|
−3 −2 − 4 |
−1 |
||||||
30 |
−3 −9 25 |
−1 |
||||||
|
A = |
2 |
4 |
2 |
f = |
3 |
||
|
1 −1 9 |
5 |
||||||
Пример выполнения задания:
Задание:
Уравнение n-ой Трансцендентное
38
степени |
|
уравнение |
|
6x3-25x2-11x+60=0 |
e2x+cos(3x) |
||
|
|
||
Матрица |
Вектор |
||
системы |
правой |
||
|
|
|
части |
1 |
2 |
3 |
1 |
A = −1 1 |
5 |
f = −1 |
|
1 |
−1 7 |
1 |
|
1. Найдем решение кубического уравнения. Для этого запишем его коэффициенты в следующем виде:
a0 := 60 |
a1 := −11 |
a2 := −25 |
a3 |
:= 6 |
|
|
|
|
. |
Определим полином
y( x) := a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 .
Найдем решение уравнения y(x)=0 графически. Для этого построим график так, как это было описано в Лабораторной работе № 2, но для нашего графика мы не указываем границы по оси Y (эти границы MathCad проставляет сам). В результате получаем:
39
70 |
50 |
|
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
0 |
5 |
|
− 50 |
50 |
|
|
− 2 |
x |
5 |
. |
|
|
|
Мы видим, что наши корни лежат в интервалах: [-2; - 1], [1; 2], [3; 4].
Получим корни уравнения y(x)=0 аналитически. Для этого в MathCad предназначена функция solve на панели инструментов «Символы». Имеем:
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
−3 |
|
||
y(x) solve,x → |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
. |
|
Можно убедиться, что наша оценка корней по графику была верной.
Для нахождения корней уравнений n-ой степени имеется специальная функция polyroots, в качестве параметра которой задается вектор коэффициентов:
|
|
−1.5 |
|
||
polyroots (a) = |
|
1.667 |
|
||
|
|
|
|
||
|
|||||
|
|
4 |
. |
||
40 |
|
|
|
|
|