Лабораторная работа № 4 «Метод наименьших квадратов. Регрессия»

Цель работы:Познакомить читателя с основами обработки экспериментальных данных с помощью фундаментальных численных методов и встроенных функций системыMathCad.

Рекомендуемая литература: [1-3, 7, 10].

Задание:

1. По заданной выборке построить аппроксимацию на основе заданного набора базисных функций с помощью метода наименьших квадратов.

2. На основе набора базисных функций, предложенного в пункте 1, построить регрессию для заданной выборки.

3. Провести сравнение результатов пункта 1 и пункта 2.

Варианты выборок находятся в таблице № 2 (см. лаб. работу №2), а вариант набора базисных функций представлены в таблице № 4.

Таблица № 4: Варианты набора базисных функций.

№ варианта	Набор базисных функций
1	2
1	cos(x); x3; 1/x
1	2
2	sin(x); ex; 2x
3	3x; 1/x; cos(x)
4	sin(x); ln(x); x2
5	x; cos(x); ex
6	x3; sin(x); ln(x)
7	cos(x); x2; 2x
8	sin(x); ln(x); 3x
9	cos(x); ex; 1/x
10	sin(x); 1/x; 2x
11	cos(x); ln(x); 1/x
12	ex; ln(x); cos(x)
13	sin(x); x3; ex
14	cos(x); x2; ln(x)
15	3x; x3; sin(x)
16	3x; cos(x); x
17	1/x; x2; cos(x)
18	x; x3; sin(x)
19	x2; e-x; cos(x)
20	sin(x); ln(x); x
21	1/x; x; cos(x)
22	sin(x); x4; ex
23	1/x; x4; cos(x)
24	2x; sin(x); x4
25	ex; x4; cos(x)
26	sin(x); ln(x); x4
27	cos(x); x4; ln(x)
28	1/x; sin(x); x4
29	2x; cos(x); x4
30	1/x; sin(x); 3x

Пример выполнения задания:

Задание:

X	Y
0	1
0.5	0.833
0.2	0.667
1.5	0.54
1	0.4
3	0.333
2.5	0.286
2	0.25
3.5	0.222

Базис произвольных функций: cos(x),x²,e^x,ln(x+1),sin(x).

1. Для удобства работы рекомендуем отсортировать выборки так, как это делалось в Лабораторной работе № 2. Получим:

.

Зададим константы: N– номер последнего элемента выборки,n– число базисных функций минус единица и параметрi:

.

Далее зададим набор функций:

.

Вычислим значения заданных функций в точках выборки x:

.

Сформируем матрицу системы уравнений для нахождения коэффициентов пробной функции. Для этого зададим параметры:

.

Формируем матрицу по формуле:

.

Далее строим вектор правых частей для данной системы уравнений:

.

Решаем нашу систему уравнений M*a=f(см. лаб. работа №3).

После чего получаем требуемую аппроксимацию:

.

График аппроксимации P(X)и экспериментальные точки представлены на рисунке

.

2. Функцию аппроксимации можно построить с помощью встроенных возможностей MathCad. Но если все выше указанные вычисления мы можем проводить для не отсортированной выборки, то встроенные функцииMathCadтребуют, чтобы выборка была отсортирована поx.

После того, как выборка отсортирована, можно построить вектор базисных функций:

.

Далее ищем коэффициенты пробной функции с помощью встроенной функции пользователя linfit

,

где x, y– элементы выборки;F– вектор базисных функций.

Теперь можно построить аппроксимацию g:

.

Для графического представления g(z)необходимо задать интервал изменения переменнойzи шагz:

.

В результате получим, что график имеет вид:

.

3. Сравним полученные результаты. Для этого вычислим относительную разницу между аппроксимациями полученными в пункте 1 и в пункте 2:

.

На первом графике представлены точки выборки и кривые аппроксимации из пункта 1 и пункта 2, а на втором – относительная разница f(x).

	.