L01-Кинематика

Лекция 01

Введение

i

Глава 1. Кинематика поступательного движения

t

§ 1. Система отсчета. Траектория материальнойal

точки.......................................................................................................................................

n .

§ 2. Вектора

§ 3. Скорость.................................................................................................................

i .

f

§ 4. Ускорение и его составляющие...................................................

on

§ 5. Прямолинейное равнопеременноеdeдвижение

§ 6. Ускорение при криволинейном движении

§ 7. Кинематика вращательного движения.

C

Угловая скорость и угловое ускорение

y

Введение

Механика — часть физики, которая изучает

простейшую и наиболее общую форму движения

материи, заключающуюся в перемещении тел или

m

частей тела относительно друг друга и называемую

механическимpanдвижением.

o

C

Развитие механики как науки начинается с III в.

до н. э., когда древнегреческий

ученый Архимед

Механика Галилея — Ньютона называется

классической

и

изучает

законы

движения

макроскопических тел, скорости которых малы по

сравнению со скоростью света. Законы движения

макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со

i

al

скоростью света, изучаются специальнойtтеорией

относительности, сформулированной А.Эйнштейном.

n

Для

описания

движения

микроскопических

тел

(атомы

и

элементарные

iчастицы)

законы

de

f

классической механики не применимы — они

изучаются квантовой механикой.

Механика подразделяется на три раздела: кинематику;

динамику; статику.

on

Кинематика

C

движение

тел,

не

изучает

y

рассматривая те причины, которые это движение

обусловливают.

Динамика изучает законы движения тел и те

причиныpan, которые вызывают или изменяют это

движение.

m

o

C

Статика изучает законы равновесия системы тел.

§ 1. Система отсчета. Траектория материальной

точки

al

Наиболее

простым

примером

i

механического

движения является движение материальной

точки.

Материальная

точка

—

n

это тело, обладающееt

de

массой, размерами которого в данной задаче можно

пренебречь по сравнению со всеми другими

размерами встречающимися в поставленной задаче.

f

Движение

тел

происходит

в iпространстве

и во

времени. Поэтому для описания движения

материальной

точки надо

знать,

в каких

местах

C

пространства эта точка находилась и в какие моменты

времени

она проходилаonто или иное место.

y

Положение материальной точки определяется по

отношению к какому-либо другому, произвольно

выбранному телу, называемому телом отсчета.

Выбранное таким образом тело условно считается

неподвижным, а связанная с ним произвольная

m

система координат называется системой отсчета

положенийpanматериальной точки.

o

C

В декартовой системе координат положение точки А

в данный

момент времени

по отношению

к этой

Z

A

r

z

Y

ial

Рис.1

0

y

x

X

t

S B

de

Z

A

i

n

r0

r

f

r

on

0

X

Y

C

Рис.2

При движении материальной точки ее координаты

pan

с течением времениyизменяются. В общем случае ее

движение

определяется

тремя

скалярными

уравнениями:

ìx = x (t),

ï

(1.1)

o

íy = y (t),

ï

= z (t),

îz

C

эквивалентнымиm

векторному уравнению:

r = r (t).

(1.2)

материальная точка движется в пространстве, то, как

уже было сказано, она обладает тремя степенями

свободы (координаты х, у и z), если по некоторой

поверхности, то двумя степенями свободы, если по

кривой, то одной степенью свободы.

al

i

n

Исключая t в уравнениях (1.1) и (1.2),tполучим

de

уравнение траектории движения материальной точки.

Траектория движения материальной точки — линия,

описываемая этой точкой в пространстве.

В

f

зависимости от формы траекторииiдвижение может

быть прямолинейным или криволинейным.

C

Рассмотрим движение материальной точки вдоль

произвольной траекторииon(рис. 2). Отсчет времени

y

начнем с момента, когда точка находилась в

положении А. Длина участка траектории АВ,

пройденного материальной точкой с момента начала

отсчета времени, называется длиной пути

s

и

является скалярной функцией времени: s = s (t).

m

Вектор r = r — r0, проведенный из начального

положенияpanдвижущейся точки в положение ее в

o

C

данный момент времени, называется перемещением.

Естественно, что при прямолинейном движении

вектор перемещения совпадает с соответствующим

участком траектории и модуль перемещения

|

r |

равен пройденному пути s.

Имеет место два основных вида движения –

поступательное и вращательное.

Выражение вектора a через его

проекции

на

координатные оси: a = axex + ayey + azez .

Здесь ax ,ay ,az

-

компоненты вектора.

Скалярное произведение: ab = ab cosϕ

al

t

n

Векторное произведение:

c = nabsinϕ = a×b = [ab]

i

Смешанное

произведение:

a[bc] = c[ab] = b[ac]

-

циклическая перестановка.

f

Двойное векторное произведение:de

i[a[bc]] = b(ac) − c(ab)

Производная

on

+ ay (t)ey + az (t)ez

вектора:

a(t) = ax (t)ex

равна a&(t) = a&x (t)ex

C

+ a&y (t)ey

+ a&z

(t)ez

y

Для радиуса-вектора r(t) движущейся точки получаем

pan

+ z&(t)ez

r&(t) = x&(t)ex + y&(t)ey

Дифференциал

векторов:

da = daxex + dayey + dazez

и

m

+ dzez

dr = dxex + dyey

Поскольку df =

f dt′ и

f

≈ f ′

t , то a ≈

da

t

dt

C

произведения

функций:

oПроизводная

d

(ϕa) = ϕ da

+ a dϕ = ϕa&

+ϕ&a

dt

dt

dt

al

i

t

n

de

i

f

Производная единичного вектора:

on

C

y

pan

ϕ

t

Рассматривается орт

ea

вектора a . Он единичный и

может меняться только по направлению. Пусть он

m

за время

. Его приращение

повернулся на угол

по размеру равно

ea ≈

ϕ . Сам вектор приращения

C

» Dϕ ×e e .

e e - орт

oравен

Dea = Dea

×e e

Здесь

вектора

ea . При вращении для малого угла ϕ этот

орт совпадет с перпендикуляром к ea ,

т. е. станет

e .

dea

= lim t→0

ea

= lim t→0

ϕ e

a =

dϕ

e

или

dt

t

t

dt

ial

вектора

a .

e&a

=

dϕ

e = ϕ&e , где ϕ& - угловая скорость вращения

dt

t

n

Орт e

лежит в плоскости, в которой поворачивается

вектор

de

a , и направлен в сторону поворота.

i

f

§ 3. Скорость

Для

характеристики движения материальной точки

C

вводится векторная величина — скорость, которая

определяет как быстротуonдвижения, так и его

направление в данный момент времени. Пусть

материальная точка движется по какой-либо

криволинейной траекторииy

так, что в момент времени

t ей соответствует радиус-вектор r0 (рис. 3). В течение

небольшого

промежутка

времени

t

точка

пройдет

m

путь s и получит элементарное перемещение r.

Величинаpanv =

r

(2.1)

t

называется средней скоростью движения за время

t.

o

v

Направление

средней

C

скорости

совпадает

с

sB

A

<v>

направлением r.

Если

в

r

(2.1) перейти к пределу при

r0

r

→

0,

то

получим

v = lim

r

= dr

r→0

t

dt

Мгновенная скорость v есть векторная величина,

равная первой производной радиуса-вектора

движущейся точки по времени. Так как секущая в

пределе совпадает с касательной, то вектор скорости

i

al

v направлен по касательной к траектории tв сторону

движения (рис. 3).

n

По мере уменьшения

t путь

is все больше будет

de

приближаться к |

r |, поэтому

f

r

= lim

|

r |

s =

ds

υ =| v |=

lim

= lim

r→0

t

on

r→0

t dt

r→0

t

Cчисловое

Таким

образом,

значение мгновенной

скорости равно первой производной пути по времени:

y

υ = lim

s = ds

(2.2)

r→0

t

dt

Движение, при котором скорость, изменяясь как

угодно по направлению, остается постоянной по

pan

величине, называется равномерным и s = vt .

m

o

В случае неравномерного движения, когда

числовое значение мгновенной скорости с течением

Cвремени

изменяется,

пользуются

скалярной