L03-Динамика, законы сохранения

§ 19. Понятие об интегралах движения

al

§ 20. Кинетическая энергия

i

§ 21. Работа и мощность

§ 22. Консервативные силы

n

§ 23. Потенциальная энергия во внешнемtполе сил

de

§ 24. Потенциальная энергия взаимодействия

§ 25. Закон сохранения энергии

§ 26. Энергия упругой деформации

f

§ 27. Условия равновесия механическойi

системы

§ 28. Закон сохранения количества движения

(импульса)

C

§ 29. Центральный удар шаров

§ 30. Закон сохранения моментаon

импульса

pan

§ 19. Понятиеyоб интегралах движения

Аддитивных

интегралов три: неизменны

al

энергия,

импульс

и

момент

i

импульса. Им соответствуют

законы сохранения этих величин.

t

n

de

В основе сохранения энергии лежит однородность

времени: замена момента времени

другим моментом

без изменения координат и скоростей тел не изменяет

f

механические свойства системы.i

В основе сохранения импульса лежит однородность

C

пространства: одинаковость свойств пространства во

всех точках.

y

on

В основе сохранения момента импульса лежит

изотропия пространства: одинаковость свойств

пространства по всем направлениям.

Законы

сохранения

позволяют

решать

задачу

m

движения тел тогда, когда точное решение уравнений

движенияpanслишком сложное или когда неизвестны

o

силы.

C

законы сохранения исходя из уравнений

Получим

§ 20. Кинетическая энергия

Под действием силы F на покоящееся тело возникает

F = m dv

ial

его движение со скоростью v. Второй закон Ньютона

гласит

t

dt

n

de

Умножим обе части равенства на перемещение ds =

vdt, получим

i mυ2

dv

2

onmmυ

2

) = Fds

mυ

p2

m dt ds = Fds

и mvv&dt

= mfvdv = d(

2

Если система

замкнута,

т.е.

F = 0

и тогда

T =

= const или T =

=

= const

2

y

2m

2m

C

pan

Это интеграл движения – кинетическая энергия

частицы.

d(mυ2 ) = Fds

называется

работой

Fds = dA

2

F

i

совершаемой силой

на пути ds.

Работаal

t

характеризует изменение кинетической энергии,

обусловленное действием силы на движущуюсяn

частицу.

mv2

Интегрирование

равенства

di( de) = Fds

вдоль

f2

траектории 1-2 дает:

2

d(mυ

2 ) =

2

mυ

22

− mυ

21 = T −T = A =

2

ò

ò

Fds =

F ds

2

2

on 2 1

12

ò s

1

1

2

1

C

Это работа силы F на пути 1-2.

Т.о. работа результирующих всех сил, действующих

y

на частицу, идет на приращение кинетической

энергии частицы

A12 = T2 −T1

pan

m

§ 21. Работа и мощность

Изменение механического движения тела вызывается

o

C

силами, действующими на него со стороны других

тел. Чтобы количественно характеризовать процесс

обмена

энергией

между

взаимодействующими

Если тело движется прямолинейно и на него

действует постоянная сила F, составляющая

некоторый угол α с направлением перемещения, то

работа этой силы равна произведению проекции

силы Fs на направление перемещения, умноженной на

перемещение точки приложения силы:

i

dА = Fsds = Fds cos α

al

t(11.1)

n

где α – угол между направлением силы и

направлением перемещения точки приложения силы.

Если α – острый, то работа положительнаi

, сели α –

de

f

тупой, то – отрицательна. При α = π/2 работа равна

«0». Работа держащего груз неподвижно равно нулю !

В общем случае сила можетon

изменяться как по

модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу

C

переменной силы, пройденный путь разбивают на

y

большое число достаточно малых элементов, чтобы

их можно было считать прямолинейными, а

действующую силу в любой точке данного элемента

— постоянной.

pan

Fi

mαi

Fsi

vi

o

dsi

C

N

N

A = òFsi dsi = òFi dsi cosαi

M

M

Для вычисления этого интеграла надо знать

i

t

зависимость Fs от s вдоль траектории МN. Если эта

зависимость представлена графически (рис.) , тоal

искомая работа А определяется заштрихованной на

de

графике площадью.

n

dA

i

Fs

f

on

A

C

y

s

ds

Рис.

pan

Если тело движется прямолинейно, сила F = const и α

= const, то получим

N

N

A = òFdscosα = Fcosαòds = Fscosα ,

m

M

M

где s — пройденный телом путь.

C

джоуль (Дж):1 Дж - работа,

oЕдиница работы —

al

i

t

n

de

i

f

Растяжение и сжатие пружины выполняем медленно,

тогда внешняя сила равна упругой и они равны F=-kx,

где x – удлинение пружиныon.

y

A =

kx2

C

l

2

pan2l

2

Тогда работа

2

Аналогично находится выражение для работы,

совершаемой при упругом растяжении или сжатии

стержня

A =

ES

( l)2 =

ESl0

( l )2

=

EV

ε 2

o

0

0

mV = Sl

l

–

объем

стержня

и

ε =

- его

C

0

где

l0

Про частицу в пространстве испытывающей

воздействие других тел говорят, что она находится в

i

al

поле сил. Например, сила ее тяжестиt

в

гравитационном поле Земли равна P = mg

или сила

n

Кулона на заряженную частицу в электростатическом

поле. Эти поля характерны тем, что направление силы

i

проходит через неподвижный центрde(Земли или

f

заряда создающего электрическое поле) и зависит

только от расстояния до этого центра F=F(r). Тогда

такие поля называются центральными.

on

Если в каждой точкеCпространства F=const, то поле

однородно. Если поле не меняется со временем, то

y

оно стационарно. Если поле меняется со временем,

то – нестационарно.

Силы поля, работа которых над частицей не зависит

pan

от траектории движения частицы, называются

консервативными. Для них работа сил по

m

замкнутому пути равна нулю: работа в дальнюю

o

точку имеет знак противоположный знаку работы

Cназад в исходную точку и эти работы по модулю

равны. Прямым вычислением можно доказать, что

Типичным

примером

неконсервативной силы

является сила трения. Ее направление всегда

противоположно скорости частицы и поэтому работа

этой силы всегда отрицательна, накапливается при

любом движении и никогда не обратится в «0».

Поле консервативных сил является частным случаем

i

потенциального силового поля. Поле

al

tназывают

потенциальным,

если его можно описать функцией

n

U(x,y,z) так что сила в каждой точке поля равна

F=-ÑU(x,y,z)

i

Здесь U(x,y,z) – потенциальная энергияdeчастицы.

f

§ 23. Потенциальная энергия во внешнем поле сил

on

Если работа сил поля определяется начальным и

конечным

положениемCчастицы

(консервативная

сила)

можно,

введя

функцию

U,

записать

y

A12 = U1 −U2

Функция U определяет работу, совершаемую над

частицей консервативными силами на пути 1-2.

pan

Значит, эта работа идет на повышение кинетической

m

T −T = U

1

−U

2

или можно

переписать

энергии

2 1

o

C