L01-Кинематика

υ =

s

t

Из рис. 3 вытекает,

что <υ > > | <v> |, так как s > |

r | и только в случае

прямолинейного движения

s = |

r |

t

Если выражение ds = υ dt (см. формулу (2.2))

проинтегрировать по времени в пределах отiдоalt +

t, то

найдем длину пути,

пройденного

точкой за

de

время

t:

t+ t

n

i

t

s = òυ dt

f

(2.3)

òon

Путь, пройденный точкой за промежуток времени

от t1 до t2, дается интегралом

s =

t

2

υ(t) dt

t1

Представим вектор скоростиC

в виде:

τ

pan

, где

v = vxex + vyey +yvzez = vev

ev - орт вектора v

или иначе v = r& = x&ex + y&ey + z&ez . Значит

v =

x&2

+ y&2

+ z&2

m

, тогда

Орт касательной к траектории обозначим

C

τ = ev и v = vev = vτ .

v = r& = re

+ re&

= v

+ v

oПоскольку r = rer , то

r

r

ϕ

& r

vr - характеризует

быстроту

изменения iмодуля

al

радиуса-вектора,

vϕ -

t

характеризует быстроту

n

изменения радиуса-вектора по направлению.

e&

=

dϕ

e = ϕ&e

i

r

v

de

Поскольку

dt

ϕ

ϕ , тоfϕ

ϕ .

Кроме того, v =

=

v2r

+ v2ϕ

r&2

+ r2ϕ&2

on

C

§ 4. Ускорение и его составляющие

y

В случае неравномерного движения важно знать, как

быстро изменяется скорость с течением времени.

Физической величиной, характеризующей быстроту

изменения скорости по модулю и направлению,

pan

является ускорение.

m

oПусть вектор v задает скорость точки А в момент

C

v

C

vτ

D

Средним

ускорением

s

B

неравномерного движения

A

E

в интервале от

t

до

t +

v1

t

называется

векторная

vn

v

величина,

равная

отношению

изменения

0

скорости

v к интервалу

i

времени

t:

al

Рис. 4

t

a

=

v

n

Мгновенным

ускорением

а

t

(ускорением)

материальной точки в момент времени t будет предел

i

среднего ускорения:

de

f

a = lim a

= lim

v = dv

= v& = w

(3.1)

t→0

t→0

t

dt

on

Таким образом, ускорение

a = w

есть

векторная

величина, равная первойCпроизводной скорости по

времени.

y

Причем wx

= v&x = &&x и т.д.

§ 5. Прямолинейноеpan

равнопеременное движение

m

При прямолинейном движении вектор скорости все

o

время направлен вдоль одной и той же прямой —

траектории, вследствие чего направление вектора w

C

совпадает с направлением вектора v или ему

противоположно. Если w совпадает по направлению с

v, то скорость растет по величине и движение будет

Прямолинейное движение с постоянным ускорением

называется равнопеременным. В зависимости от

поведения

скорости

со

временем

различают

i

al

равномерно-ускоренное и равномерно-замедленноеt

движения.

n

При равнопеременном

движении

справедлива

формула

v = v

0

+ wt

,

i

de

f

причем все входящие в нее векторы v, v0 и w

направлены вдоль одной и той же прямой.

Спроектировав

эти

векторы на направление х,

on

совпадающее с направлением вектора v0, получим:

C

vx = v0 x +wxty

(8.1)

Здесь проекции на ось x берутся с учетом знака

направления по x.

pan

Обычно при рассмотрении прямолинейного движения

индексыm

х в уравнении (8.1) опускают и пишут

oпросто:

C

v = v0 +wt

(8.2)

0

al

i

s = òt

(v0 + wt) dt = v0t +

w

t2

,

t

2

(8.3)

где w — величина алгебраическая.

n

i

f

Однако, эта формула дает правильный результат для

пройденного пути только в том случаеde, если за время t

on

направление движения точки (знак скорости) не

изменяется.

C

§ 6. Ускорение при криволинейном движении

Если

v = ve

v

= vτ

,

то

ускорение

учесть y

w = v& =

d

(vτ) = v&τ + vτ& = wτ + wn

m

dt

wτ = v&τ

Здесьpan, тангенциальное ускорение

-

направлено

по касательной к

траектории

и

C

wn = vτ&

oнормальное

ускорение

- направлено

по

нормали к траектории.

Тангенциальное ускорение – ускорение вдоль

траектории

определяется

быстротой

изменения

скорости

v&.

Нормальное

ускорение

определяется

величиной

τ& , т.е. быстротой изменения направления

касательной к траектории и следовательно кривизной

траектории.

al

Вводится

радиус

кривизны траектории

i

в данной

точке кривой R = lim

ϕ →0

s

=

ds

и центр кривизныt

ϕ

dϕ

de

– центр окружности,

которая сливается nс кривой на

б.м. ее участке.

i

dt

on

Нормальное

ускорение fwn = vτ& содержит

τ& = dϕ n

, где

n

C

нормали

к

траектории

-

орт

y

вектор

τ

направленный туда, куда поворачивается

при движении по кривой.

pan

dϕ

Величину

dt

свяжем

с

радиусом

кривизны

и

скоростью по ней.

m

o

C

al

i

t

ϕ

v′

n

s

fdedϕ = v

v′

t

v′ -

ϕ ≈ R′ =

i

Из рис.

следует

R′

, где

средняя

≈

onv

2

скорость.

Тогда

t

R′

или

точнее

dt

R

при

t → 0 .

C

=

R

n

В результате

y

wn

.

Это

ускорение

получаем

pan

характеризует быстроту поворота вектора скорости.

Окончательно:

вектор

ускорения

при

движении

частицы по траектории

w = wτ + wn

= v&τ + v2

n

.

R

m

o

C

Тангенциальное ускорение обращается в «0» при

R .

по

окружности,

тогда

равномерном

движении

w = wn = v2

n

w = v2

n

Нормальное ускорение

n

R

обращается в «0»

при прямолинейном движении и в точке перегиба

траектории.

§ 7. Кинематика вращательного движения.

Угловая скорость и угловое ускорение

i

al

t

В

случае

движения

материальной

n

точки по окружности по аналогии с

Δφ

линейными скоростью и ускорением

R

s

вводятся

угловая

скорость

и

i

de

f

угловое ускорение.

Рис. 6

Пусть

точка

движется

по

окружностиonрадиуса R (рис. 6). Ее

положение через малый промежуток времени зададим

углом Δφ.

C

y

Угловой скоростью называется векторная величина,

равная первой производной угла поворота тела по

времени:

pan

ϕ

dϕ

m

ω = lim

=

(4.1)

t

dt

t→0

Направление вектора угловой скорости задается

o

C

ω

Линейная скорость точки (рис. 6)

υ = lim

s

= lim

R ϕ

= R lim

ϕ

=

ds

= Rω

t

t

dt

т. е.

t→0

t→0

t

→0

t

0

R

v

υ= ωR.

i

Рис. 7

al

t

n

Если ω = const, то вращение равномерное и его

можно

характеризовать периодом вращения Т

—

i

de

временем, за которое точка совершаетf

один полный

оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как

промежутку времени t = Т соответствует Δφ = 2π, то

ω = 2 π /Т.

Число

полных

on

оборотов, совершаемых телом при

C

равномерном его движении по окружности, в единицу

времени называется частотой вращения:

y

ω = 2πn.

n = 1/Т= ω /(2π),

Вектор ω может меняться за счет изменения скорости

вращения тела вокруг оси (изменяется величина

ω

), а

pan

также за счет поворота оси вращения в пространстве

(изменяетсяm

направление

ω

). В связи с этим вводится

oугловое ускорение.

C

ускорением

называется

векторная

Угловым

ε =

dω

= β .

(4.2)

dt

Отсюда следует, что вектор углового ускорения

направлен по оси вращения в сторону вектора

элементарного приращения угловой скорости. При

al

ускоренном движении вектор ε параллелен вектору ω

i

t

(рис. 8), при замедленном - антипараллелен (рис. 9).

ω2

de

dω

> 0

dω

< 0

ω1

n

dt

ω1

dt

ω2

i

ε

f

0

ε

Рис. 8

C

Рис. 9

Модули

линейной

и

угловойon

скоростей связаны

формулой

y

υ= ωR. Из рис. Видно, что их вектора

связаны выражением v = [ωr].

pan

m

o

C

Нормальная составляющая ускорения

w = a = υ2

= ω2 R2

= ω2 R

n

n

R

R