- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
- •1.1. Сила – основное понятие статики
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Теорема о равновесии трех сил
- •1.4. Проекция силы на ось и плоскость
- •2. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ
- •2. 1. Свободное и несвободное тело. Активные и реактивные силы
- •2. 2. Основные типы связей
- •3. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
- •3. 1. Графический и аналитический методы определения равнодействующей сходящихся сил
- •3. 2. Условие и уравнения равновесия системы сходящихся сил
- •3. 3. Примеры решения задач на систему сходящихся сил
- •4. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
- •4. 1. Момент силы относительно точки на плоскости
- •4. 2. Момент силы относительно точки в пространстве
- •5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
- •5. 1. Пара сил. Момент пары сил на плоскости
- •5. 2. Момент пары сил в пространстве. Эквивалентные пары
- •5. 3. Теоремы об эквивалентности пар
- •5.4. Сложение пар сил на плоскости
- •5. 5. Сложение пар сил в пространстве
- •5. 6. Условия равновесия системы пар сил
- •6. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ
- •6. 1. Приведение силы к заданному центру
- •6. 2. Приведение плоской системы сил к заданному центру
- •6. 3. Частные случаи приведения плоской системы сил к заданному центру
- •6. 4. Уравнения равновесия плоской произвольной системы сил
- •6. 5. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил
- •6.6. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей плоской системы сил
- •6. 7. Статически определимые и статически неопределимые задачи
- •6. 8. Примеры решения задач на равновесие плоской произвольно расположенной системы сил
- •7. РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНЫХ СИСТЕМ
- •7. 1. Аналитические условия равновесия составных систем
- •7.2. Графические условия равновесия простых и составных систем
- •8. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ
- •8. 1. Основные понятия о ферме и усилиях в ее стержнях
- •8.2. Условие геометрической неизменяемости и статической определимости фермы
- •8.3. Методы расчета фермы
- •8.3.1. Метод вырезания узлов
- •8.3.2. Леммы о нулевых стержнях фермы
- •8.3.3. Метод сечений (метод Риттера)
- •9. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
- •9.1. Трение скольжения и его законы
- •9.2. Конус трения
- •9.4. Трение качения
- •10. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ
- •10.1. Момент силы и главный момент системы сил относительно оси
- •10.2. Зависимость между моментом силы относительно точки и моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку
- •10.3. Аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей
- •10.4. Приведение пространственной системы сил к данному центру
- •10.5. Возможные случаи приведения пространственной системы сил к данному центру
- •10.7. Выражения главного вектора и главного момента пространственной системы сил через их проекции на оси координат
- •10.8. Уравнения равновесия пространственной системы сил
- •10.9. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей пространственной системы сил
- •10.10. Примеры решения задач на приведение пространственной системы сил к простейшему виду
- •10.11. Примеры решения задач на условия равновесия пространственной системы сил
- •11. ЦЕНТР ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
- •11. 1. Сложение системы параллельных сил. Центр параллельных сил
- •11.2. Центр тяжести твердого тела и координаты центра тяжести
- •11.3. Способы определения координат центров тяжести тел
- •11.4. Координаты центров тяжести основных площадей и линий
- •11.5. Примеры решения задач на определение координат центров тяжести сложных плоских фигур
96
9.4. Трение качения
Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса Р, лежащий на шероховатой поверхности (рис. 9. 15).
Приложим к оси катка О силу Q. В точке А возникает сила трения F, численно равная Q, которая препятствует скольжению катка по плоскости. Силы Q и F образуют пару качения, а N = - Р. Казалось бы, что качение катка должно начинаться при приложении к оси катка любой силы, но этого не происходит, так как вследствие деформации касание тел происходит не в точке А, а по некоторой площадке АВ. То есть нормальная реакция оказывается смещенной от линии действия силы Р на расстояние δ. В предельном положении на каток действуют две пары сил: пара (Q, F) с моментом М = Q R –
пара качения и пара (Р, N) с моментом М = N δ - пара сопротивления качения. Q R = N δ или Q =(δ : R) . N
Пока Q < Q предельного – каток находится в покое, при Q > Q предельного начинается качение катка. Величина δ называется коэффициентом трения качения и представляет собой плечо пары сопротивления. Этот коэффициент имеет линейную размерность, зависит от материала и определяется опытным путем. Отношение δ/R для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения скольжения f. Поэтому в технике стремятся заменить скольжение качением (подшипники, катки, колеса и т.д.).
Так, например, замена скользящих тел подшипниками уменьшает силу трения в 40 раз.
10. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ
10.1. Момент силы и главный момент системы сил относительно оси
Силы, действующие на твердое тело как угодно в пространстве, в общем случае образуют произвольную пространственную систему сил (рис. 10. 1, а).
Если твердое тело имеет неподвижную ось вращения, то силы, действующие на тело, могут вызвать его вращение относительно этой оси. Мерой вращательного действия силы является ее момент относительно оси вращения.
Пусть на тело, имеющее ось вращения z, действует произвольно расположенная в пространстве сила Р (рис. 10. 1, б). Проведем через начало силы (т. А) плоскость, перпендикулярную оси z, и разложим силу на две составляющие Р′ и Р′′:
97
R
O Q
P
F N
A
d
O Q
P
F A
B
Рис.9.15
98
а. z
O |
y |
|
x
в. |
B |
|
z |
||
|
||
P1 |
P2 |
B
Pn Pi
b
б.
P
P' |
a |
|
г.
P
P'
|
z |
P'' |
|
A |
d |
|
|
|
o |
|
A |
|
z |
|
Moz |
MO(P) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
o |
z
д.
P |
A(x, y, z) |
|
|
|
Moz |
|
MO(P) |
B |
r |
|
|
|
|
||
|
k |
|
|
|
o |
j |
oy |
|
ox i |
|
M |
|
|
y |
|
|
M |
|
|
|
x |
|
|
Рис. 10.1
99
Р = Р′ + Р′′ , где Р′ является проекцией силы Р на проведенную плоскость. А сила Р′′
параллельна оси z.
Сила Р′′ не может вращать тело относительно оси z, так как параллельна ей и стремится вызвать только поступательное движение тела вдоль оси. Вращение тела создается силой Р′. Ее момент относительно оси равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы. Этим расстоянием является плечо d силы Р′ в плоскости, перпендикулярной оси, относительно точки их пересечения (т. О, рис. 10. 1, б).
Таким образом, моментом силы относительно оси называется скалярная величина, взятая со знаком «плюс» или «минус», равная моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью:
|
|
|
|
|
|
Мz (Р) = Мо (Р′ |
) = ± Р′ d |
(10. 1) |
|||
Момент силы относительно оси считается |
положительным, если при |
взгляде с положительного направление оси вращения тела под действием силы
противоположно движению часовой стрелки. |
|
|||||
В соответствии с выражением (4. |
2) получаем: |
|
||||
|
|
|
|
|
2 А ОАВ |
(10. 2) |
Мz (Р |
) = Мо (Р′) = |
|||||
Если учесть, что Р′ = Р Соs α, то выражение (10.1) примет вид: |
||||||
|
|
|
|
(10. 3) |
||
Мz (Р |
) =Р d Соs α |
|
Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось расположены
водной плоскости, что возможно в двух случаях:
1)сила параллельна оси;
2)линия действия силы пересекает ось.
Действительно, если Р ≠ 0, то согласно выражению (10. 3)
Мz (Р) =Р d Соs α = 0,
когда:
1)Соs α = 0, т.е. α = 90° и, следовательно, Р z;
2)d = 0, т.е. линия действия силы Р пересекает ось z.
При действии на тело с неподвижной осью вращения нескольких сил (рис. 10. 1, в) мерой их вращательного действия является суммарный момент сил относительно оси.
Алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно какой-либо оси называется главным моментом системы сил относительно этой оси:
n |
|
|
|
Мz = ∑ Мz (Рi ) |
(10. 4) |
||
i=1 |
|