2 = -30 + 20(z2 – 1) – 10(z2 – 1)2 = -10 z22 + 40z2 – 60

(квадратная парабола, у которой выпуклость – вниз, а касательная горизонтальна при z2 = 2, где Qу = 0);

при z2= 2 м Мх = -10 . 22 + 40 . 2 – 60 = -20 кНм , при z2= 1 м Мх = -10 . 12 + 40 . 1 – 60 = -30 кНм .

3-й участок. (0 ≤ z3 ≤ 1 м)

Qу = 0

Мх = - Мz = - 30 кНм (горизонтальная прямая) ; Эпюры построены.

3.4. Построение эпюры продольных сил

Центральным растяжением-сжатием (ЦРС) называется вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях стержня из шести возможных компонент усилий присутствует только одна – продольная сила N.

Построение эпюры продольной силы N выполняется гораздо проще, чем эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балок.

Покажем это на примере.

Задача. Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рисунке при следующих значениях нагрузок:

F1 = 40 кН , F2 = 10 кН , F3 = 20 кН , q1 = 30 кН/м , q2 = 5 кН/м .

2. Пронумеруем участки стержня (по направлению к заделке). В произвольном месте на каждом участке отметим поперечное сечение. Рассматривая либо левую, либо правую части стержня, запишем выражение для продольной силы N на каждом участке.

На участке 1, 2, 5 (рис. 3.21) усилие N постоянно и не зависит от того, в каком месте находится рассматриваемое сечение. На участке 2, 3, где приложена распределенная нагрузка, от расположения сечения зависит, какая часть распределенной нагрузки придется на отсеченную часть стержня.

Другими словами, усилие N будет зависеть от расположения сечения (в данном случае линейно). Чтобы это учесть, расположение сечения будем отмечать переменным расстоянием, которое можно отсчитывать от края рассматриваемой части стержня (z3 – для 3-го участка и z4 – для 4-го участка).

В данном случае несколько проще отсчитывать их от границы участка

(рис. 3.21).

При рассмотрении участков 1, 2, 3, 4 будем отбрасывать левую часть стержня.

1 участок. N1 = F1 = +20 кН (растяжение).

Строим график функции N3 = -10 – 5z3 (наклонная прямая).

График наклонной прямой обычно строят сосчитав значения функции при двух значениях аргумента, то есть проводя ее через две точки. В данном случае удобно определять ее значения на границах участка.

При рассмотрении 5 участка легче считать силы, приложенные к левой части стержня.

5 участок. N5 = +R = +35 кН

3. Откладываем вычисленные значения продольной силы от горизонтальной оси («+» – вверх, «-» – вниз).

На участках с распределенной нагрузкой подсчитанные значения соединяем наклонными линиями, на остальных – усилие N не зависит от z и изображается горизонтальными линиями. Расставляем знаки, делаем штриховку. Эпюра построена.

Когда стержень имеет опору только с одной стороны, усилия на участках можно определять, отбрасывая всегда ту часть стержня, к которой приложена неизвестная реакция. В этом случае неизвестная реакция никогда не потребуется для определения усилий и эпюра может быть построена без определения реакций.

3.5. Построение эпюры крутящих моментов

Кручением называют простой вид сопротивления, при котором в сечении присутствуют (из шести возможных) одно единственное усилие – крутящий момент Мz, который в технической литературе часто обозначают про-

сто Мкр.

Построение эпюры крутящего момента выполняется аналогично тому, как строится эпюра продольных сил в случае центрального растяжения – сжатия.

Рассмотрим это на примере.

Задача. Построить эпюру крутящего момента для стержня, изображенного на рис. 3.22.

64

Рис. 3.22

Решение.

Иногда возникает необходимость при известных размерах и форме поперечного сечения определить из расчета на прочность нагрузку, которую сможет выдержать данный стержень. В этом случае изначально значения нагрузок неизвестны и они могут быть представлены лишь в буквенном выражении. При этом, естественно, и эпюры внутренних сил приходится строить, указывая не численные, а символические значения.

1. Нумеруем участки. На каждом из них показываем сечение (рис. 3.23).

Рис. 3.23

2.Выбрав сечение на каждом участке, станем рассматривать правую часть стержня, отбрасывая левую, поскольку к ней приложен неизвестный реактивный момент, возникающий в жесткой заделке и препятствующий свободному вращению стержня относительно оси z.

Чтобы определить значение крутящего момента в сечении необходимо сосчитать все расположенные до него моменты, глядя на сечение вдоль оси z

ипринимая их положительными, если они направлены против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой.

1участок. Мz = -2М

2участок. Мz = -2М + 5М = 3М

3участок. Мz = -2М + 5М – 7М = - 4М

4участок. Мz = -2М + 5М – 7М + 3М = - М

65

3. Поскольку в пределах одного участка значение крутящего момента оказалось не зависящим от расположения сечения, на эпюре соответствующие графики будут являться горизонтальными прямыми. Подписываем найденные значения и расставляем знаки. Эпюра построена.

Задание на выполнение расчетно-графической работы №2 по сопротивлению материалов

Для заданных двух схем балок (рис. 3.24) требуется написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти Мmax и подобрать: а) для схемы «а» деревянную балку круглого поперечного сечения при [α] = 8 МПа; б) для схемы «б» – стальную балку двутаврового поперечного сечения при [α] = 8 МПа. Данные взять из табл. 2.

Т а б л и ц а 3.2

Студент обязан взять из таблицы данные в соответствии со своим личным номером (шифром) и первыми шестью буквами русского алфавита, которые следует расположить под шифром, например:

шифр – 2 8 7 0 5 2

буквы – а б в г д е Если личный номер состоит из семи цифр, вторая цифра шифра не учи-

тывается.

Из каждого вертикального столбца таблицы, обозначенного внизу определенной буквой, надо взять только одно число, стоящее в той горизонтальной строке, номер которой совпадает с номером буквы. Например, вертикальные столбцы табл. Обозначены буквами «е», «г», и «д». В этом случае при указанном выше личном номере 287052 студент должен взять из столбца «е» вторую строку, из столбца «г» – нулевую строку, и из столбца «д» – пятую строку.

Работы, выполненные с нарушением этих указаний, не зачитываются.