68

4.ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ (ЦРС)

4.1.Напряжения деформации при ЦРС. Закон Гука

Вряде элементов строительных конструкций возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия. Например, трос подъемника при подъеме груза растянут, колонны здания преимущественно сжаты, элементы форм могут быть растянутыми или сжатыми.

Всамом простом случае растянутый или сжатый стержень – это стержень, на который действуют силы, приложенные к его концам и направленные вдоль его оси, то есть в поперечных сечениях стержня имеется только одна продольная (нормальная) сила N.

Для вычисления нормальных напряжений σΖ , характеризующих интен-

сивность внутренних сил в поперечном сечении, используем известную из главы 1 (формула 1.6) зависимость:

Согласно гипотезе плоских сечений, поперечные сечения, плоские до нагружения, остаются плоскими и при нагружении. Представим себе стержень состоящим из продольных волокон. Так как все продольные волокна деформируются одинаково, то нормальные напряжения, вызывающие эти

деформации, также должны быть одинаковы ( σΖ = const). Вынося σΖ за

Растягивающие напряжения считаются положительными, а сжимающие

– отрицательными. Таким образом, знак напряжения σΖ совпадает со знаком

продольной силы N.

Если в рассматриваемом сечении имеется отверстие или вырез, то напряжения определяют по формуле

где Ант – площадь поперечного сечения «нетто» с учетом ослабления.

Для различных материалов значения коэффициентов Пуассона находятся в пределах 0 < ν < 0,5. Например, для большинства металлов 0,25 < ν < 0,35.

Найдем изменение размеров однородного растянутого (сжатого) стерж-

ΕΑ

где N – продольная сила на участке стержня длиной l; А – площадь поперечного сечения;

E – модуль упругости.

Зависимость 4.9 используется в тех случаях, когда на участке стержня длиной l значения N и А постоянны.

Произведение ЕА называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Сужение сечения стержня (рис. 4.1) на основании формул 4.3, 4.6, 4.7,

4.8:

4.2. Определение перемещений при ЦРС

Рассмотрим стержень, нагруженный на свободном конце равномерно распределенной по сечению продольной нагрузкой (рис. 4.2). Выделим два произвольных сечения а-а и b-b, отстоящих друг от друга на расстоянии dz.

a a1 b b1 sz

l

Рис. 4.2

71

От действия нагрузки сечение а-а переместится в положение а1-а1 на расстояние аа1=w(z), а сечение b-b переместится в положение b1-b1 на расстояние bb1=w(z)+dw. Следовательно, абсолютное удлинение участка стержня

dz

Интегрируя уравнение 4.14, получаем выражение для определения перемещения произвольного сечения:

w(z)= Ζ∫ Νdz + C .

0 ΕΑ

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что при z = 0, w(0) = wo. Отсюда следует, что С = w(o) = wo – перемещение левого сечения стержня.

Окончательно получаем:

делить по формуле 4.9.

Если же стержень нагружен продольной нагрузкой так, что имеется несколько участков, то постоянные интегрирования (то есть перемещения в началах участков) определяют из условий сопряжения участков – условий непрерывности функции перемещений при переходе от одного участка к другому. Правило знаков для продольных перемещений следующие: положительными считаются перемещения, направленные вдоль положительного направления оси z.

Пример 4.1.

72

Для стержня, показанного на рис. 4.3, построить эпюру перемещений w(z).

1 2

EA

Рис. 4.3

Решение. Разобьем стержень на два участка: I и II. Определим продольные силы на каждом участке и выберем локальные системы координат с началом в точках с1 и с2 . Запишем перемещения для участков I и II, используя выражение (4.16), так как σz = const .

При z2 = 3а получаем w2(3а) = − 4FΕΑа .

Решим пример 4.1 другим способом. Сечение с2 (рис. 4.3) переместится в результате деформации участка с1с2:

74

l2 = Ν2l =1,49мм.

Ε2 Α2

4.3.Статически неопределимые системы с растянутыми (сжатыми)

стержнями

Выше были рассмотрены стержни и стержневые системы, внутренние усилия в которых от заданной нагрузки могли быть определены при помощи уравнений равновесия. Такие стержни и системы называются статически определимыми. В отличие от них статически неопределимыми называются стержни и системы стержней, усилия в которых не могут быть определены при помощи одних лишь уравнений равновесия. При расчете в данном случае необходимо составлять дополнительные уравнения (уравнения совместимости перемещений), учитывающие деформации стержней. Число дополнительных уравнений, которые необходимо составить для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости.

Статически неопределимые системы имеют ряд особенностей по сравнению со статически определимыми. Усилия в стержнях статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки. В стержнях же статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки – в результате изменения температуры, неточности изготовления отдельных элементов конструкции, смещения опор.

Пример 1. Рассмотрим стержень, закрепленный с двух сторон и находящийся под действием сосредоточенной силы (рис. 4.5, а).

Уравнение содержит два неизвестных. Стержень является один раз статически неопределимым. Дополнительное уравнение составим исходя из условия, что длина стержня при его деформировании не изменяется, то есть l = 0 . Отбросим мысленно любое из закреплений, например, верхнее (рис.

75

4.5, б) и рассмотрим действие сил R1 и F раздельно (рис. 4.6). Условие деформации стержня дает:

еLR1

4

Эпюры N и σ приведены на рис. 4.5 в,г. Величина осевого перемещения сечения на границе участков равна:

w(a)= −4FaΕΑ .

Эпюра осевых перемещений приведена на рис. 4.5, д. Эти перемещения изменяются по линейному закону и в закрепленных сечениях равны пулю. Все поперечные сечения перемещаются вниз.

Пример 2. Рассмотрим статически неопределимую стержневую систему (рис. 4.7, а). Она состоит из абсолютно жесткого горизонтального бруса, шарнирно закрепленного в точке О и подвешенного на двух стержнях. Неизвестными являются (рис. 4.7, б) H, R, N1, N2. В данном случае можно записать только три независимых уравнения равновесия, из которых невозможно определить четыре указанных выше неизвестных усилия.

Рис. 4.7

Ограничимся определением усилий N1 и N2 в подвесках. Тогда уравнения равновесия, содержащие только эти неизвестные, запишем так:

∑mo = 0 ; Ν1 a + Ν2 2a − F 2a = 0, или

Ν1 + 2Ν2 = 2F.

(а)

Дополнительное уравнение получим, рассматривая деформацию системы (рис. 4.7, в), в результате которой брус займет положение ОВ1С1. Ввиду малости деформаций считается, что точки В и С перемещаются перпендикулярно к оси бруса, то есть вертикально вниз.

Считая деформации упругими и используя закон Гука в форме (4.9), будем иметь:

Ν2l2 = 2 Ν1l1 .

Ε2Α2 Ε1Α1

(б)

Решая совместно уравнения (а) и (б), находим искомые значения усилий

N1 и N2:

Последние формулы, в частности, показывают, что усилия в стержнях статически неопределимой системы зависят не только от внешней нагрузки и расчетной схемы системы, но и от соотношения жесткостей ее элементов.