99

6.2. Расчет балок на прочность по допускаемым напряжениям

Расчет балок на прочность ведется по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в опасном сечении, в котором изгибающий момент имеет наибольшее значение.

Wх

Для балок из пластичного материала, у которого допускаемое напряжение на растяжение и сжатие не отличается, наибольшее напряжение берется по абсолютному значению. Для балок из хрупкого материала, у которого допускаемые напряжения на растяжение и сжатие различны, необходимо рассматривать два условия прочности: по наибольшим растягивающим напряжениям и по наибольшим сжимающим напряжениям.

По условиям прочности (6.6) и (6.7) можно решить задачи трех типов: а) Проверочный расчет, когда заданы размеры поперечного сечения и

нагрузка. Проверка прочности сводится к удовлетворению условий (6.6, 6.7).

б) Подбор поперечного сечения, когда заданы нагрузка и известны [σ]. Из условия прочности (6.6) определяется требуемый момент сопротивления поперечного сечения:

max Мх

по которому определяются размеры заданного поперечного сечения или номер прокатного профиля сечения, имеющий момент сопротивления, равный требуемому или ближайший больший.

в) Определение допускаемой нагрузки (грузоподъемности), когда известны характеристики поперечного сечения и [σ]. Из условия прочности (6. 6) допускаемый изгибающий момент определяется выражением:

Допускаемая нагрузка определяется по наибольшему изгибающему моменту, выраженному в долях этой нагрузки.

max Мх ≤ [σ] = [σ] Wх

100

Определяющими в оценке прочности балок являются нормальные напряжения, по которым проводится основной расчет. По его выполнении необходима проверка на сдвиг (срез), т.е. на наибольшие касательные напряжения по формуле:

где maxQу – наибольшее значение поперечной силы для рассматриваемой балки;

[τ] – допускаемое касательное напряжение (обычно [τ] = 0,5[σ]).

Рассмотрим решение некоторых задач.

Задача 1.

Для деревянной балки, изображенной на рис. 6.6 в сечении 1-1 (у заделки) определить нормальное и касательное напряжение в точке В поперечного сечения и проверить прочность заданной балки, если [σ] = 12Мпа, [τ] = 2МПа.

Решение.

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

В сечении 1-1, которое совпадает с опасным сечением Qу = 20 кН, Мх = - 20 кНм.

103

т.е. прочность балки обеспечена.

Строим эпюры σz и τzy в сечении 1-1 у заделки.

Задача 2.

Подобрать размеры поперечного сечения балки, изображенной на рис. 6.8, в следующих вариантах:

а) стальную балку двутаврового сечения по таблице сортамента, [σ] = 160 МПа, [τ] = 100 МПа;

б) деревянную балку прямоугольного сечения при h = 2b, [σ] = 12 МПа, [τ] = 2 МПа;

в) деревянную балку круглого сечения при таких же допускаемых напряжениях.

а=2м

40

Mx

[кНм]

20

40

Рис. 6.8

Решение.

Для построения эпюр Qу и Мх находим реакции опор из уравнений рав-

новесия статики:

∑mА = 0 F . 2 – q . 6 . 3 + RB . 6 = 0

уmaxδzс

в

Рис. 6.9

105

Проверим условие прочности по наибольшим касательным напряжени-

ям:

т.е. балка удовлетворяет условию прочности по касательным напряжениям.

Строим эпюры σz и τzy в опасном сечении.

б) Определим требуемый момент сопротивления деревянной балки:

Для балки прямоугольного сечения момент сопротивления определяется по формуле:

3 ________

b = √ 3/2 . 3333 = 17,2 см h = 2b = 34,4 см

Проверим условие прочности по наибольшим τ.

Рис. 6.10

106

Строим эпюры σz и τzy в опасном сечении.

в) Для балки круглого сечения определим диаметр поперечного сечения

= 0,066кН/см2 = 0,66 МПа < [τ],

т.е. прочность балки обеспечена.

Задача 3.

Определить допускаемую нагрузку для балки двутаврового сечения (рис. 6. 11) при следующих данных:

двутавр № 30; [σ] = 160 МПа = 16кН/см2; [τ] = 100 МПа.

Qy [кН]

2F

Mx

[кНм]

2F

Рис. 6.11

107

Решение:

Для построения эпюр Qy и Mx находим реакции опор из уравнений равновесий статики:

Строим эпюры Qy и Mx.

Опасное сечение в середине пролета max Mx = 2F кНм, max Qy = -2F кН.

Геометрические характеристики для двутавра берем из сортамента:

Wх = 472 см3, Jх = 7080 см4, Sх = 268 см3, в н.с. = d = 0,65 см, в = 13,5 см.

Определим допускаемый изгибающий момент:

[М] = [σ] . Wх = 16 кН/см2 . 472 см3 = 7552 кНсм = 75,52 кНм

Проверим условие прочности по наибольшим τ.

h=30см

х

d

maxτzy

в

Рис. 6.12

Строим эпюры σz и τzy в опасном сечении (т.к. значения τzy значительно меньше значений σz, то эпюру τzy можно построить в другом масштабе).