Математический анализ
70. Найти область определения следующих функций:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
71. Выяснить, какие из следующих функций являются четными и какие нечетными:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
72. Найти множество значений функций:
1)
2)
3)
4)
73. Построить графики функций:
1)
исходя из функции
2)
3)
4)
74. Представить сложные функции в виде цепочки простых:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
75.
Функция
cooтветствует непрерывному росту популяции
бактерий от начального размера x(0)
= 1000
до предельного
x(t) = 1500.
Чему равны численные значения популяции
в моменты времени t
= 1, 2, 3,… 10.
Построить
график.
76. Вычислить указанные пределы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
77. Установить являются ли функции непрерывными или разрывными. Найти точки разрыва для функций имеющих разрыв.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
78. Найти производные заданных функций:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
79. Найти производные сложной функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
80. Найти производные второго порядка:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
81. Составить
уравнение касательной к параболе
в точке
.
82. Составить
уравнение касательной к кривой
1) в точке
.
2) параллельно
прямой
.
83. Составить
уравнение касательной к параболе
1) в точке с абсциссой
;
2) параллельно
прямой
.
84. Составить
уравнение касательной к кривой
в точке с абсциссой
.
85. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе:
1)
в точке
;
2)
в точке х
= 3.
86. Найдите угол наклона к оси Ох касательной, проведенной к кривой:
1)
в точке х =
2; 2)
в точке х
= –2;
3)
в точке
; 4)
y = tgx
в точках х
=
/3;
/4.
87. Под каким углом
парабола
пересекает Ох?
88. Под каким углом: 1) кривая у = ln x пересекает ось Ох;
2) кривая
пересекает
ось Оу?
89. Составьте уравнение касательной и нормали:
1) к параболе
в точке х
= 4;
2) к кривой
в точке х =
–1 .
90. Вычислите острые углы, образуемые при пересечении:
1) параболы
с прямой
;
2) параболы
и прямой
,
91. Вычислите острые углы, образуемые при пересечении парабол:
1) y = x2 и x = y2; 2) y2 = 4x и 2x2 = 27y
92.
Точка движется
по прямой, причем расстояние S
точки от начала отсчета определяется
по формуле
(м), где t –
время (с).
Определить скорость движения точки в
конце пятой секунды.
93.
В момент
времени t =
1 найдите скорость и ускорение точки,
движущейся прямолинейно по закону
.
94. Зависимость
количества Q
вещества, получаемого в химической
реакции, от времени t
определяется формулой
.
Определить скорость химической реакции.
95.
Материальная
точка массы m
совершает гармоническое колебание по
закону
.
Найдите силу F,
под действием которой точка совершает
это движение в момент t
= 0
96. Найти скорость изменения популяции бактерий, если в момент времени t (ч) она насчитывает p(t) = 3000 + 100t2 особей.
97. Вычислить приближенное значение функции в точке:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
при
8)
при
9)
при
10)
98. Вычислить
приближенно: 1)
; 2)
; 3)
tg
48;
4)
при
; 5)
; 6)
ctg
42;
7)
при
.
99. Исследуйте на экстремум следующие функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
100. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости следующих кривых:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
101. Исследовать функции и построить график.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
102. Найти наименьшее и наибольшее значение функций в заданных промежутках:
1)
,
2)
3)
4)
5)
6)
103. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 72 м2 , одна сторона которого примыкает к стенке дома. Выбрав размеры участка так, чтобы длина забора была наименьшей.
104. Какие размеры нужно придать цилиндрической консервной банке объема V, чтобы на её изготовление пошло наименьшее количество жести?
105. Требуется вырыть силосную яму объемом V = 32 м3 с квадратным дном таких размеров, чтобы на облицовку её дна и стен пошло наименьшее количество материала. Каковы должны быть размеры ямы?
106. Скорость роста у популяции х задана формулой y = 0,001x(100 – x). При каком размере популяции эта скорость максимальна? Какова равновесная популяции, то есть популяция, для которой скорость равна нулю?
107. Определить максимальную площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна а.
108. Закон движения
тела, брошенного вертикально вверх,
задан уравнением
.
Найдите наибольшую высоту подъема тела.
109. Вычислить неопределенные интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
110. Вычислить неопределенные интегралы заменой переменных:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
111. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
112. Вычислить определенные интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
113. Вычислить площади фигур ограниченных указанными линиями:
1)
и
2)
и
3)
и
4)
и
5)
и
6)
и
114. Вычислить объем
тела вращения вокруг оси
,
ограниченного кривой
в пределах
и
.
115. Вычислить объем
тела вращения вокруг оси
,
ограниченного кривой
в пределах
и
.
116. Вычислить объем
тела вращения вокруг оси
и оси
,
ограниченного дугой параболы
расположенной в первой четверти.
117. Вычислить объем
тела вращения вокруг оси
и оси
,
ограниченного дугой гиперболой
в пределах
и
.
118. Вычислить несобственные интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
119. Найти частное значение функций:
1)
2)
3)
при
4)
при
