Задачи для самостоятельной работы Элементы линейной алгебры
1. Вычислить определители второго порядка:
1) 2) 3) 4)
2. Решить неравенство:
1) 2)
3. Вычислить определители третьего порядка:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
4. Найти из уравнений
1) 2)
И проверить подстановкой корней в определитель.
5. Решить системы методом Крамера:
1) 2)
6. Решить системы методом Крамера:
1) 2)
3) 4)
7. Решить системы методом Гаусса:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
Векторная алгебра
8. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы и . Выразить через и векторы , , , , и , если и (рис. 1).
9. Пусть на рис. 1 точка М – середина ВС и точка N – середина АС. Определить векторы , и при и (рис. 1).
10. Даны векторы , . Выразить векторы , , , , , , через векторы и (рис. 2).
11. Даны векторы , , . Построить векторы , , . Каким диагоналям соответствуют алгебраические суммы векторов (рис. 3).
12. На трех некомпланарных векторах , и (рис. 3) построен параллелепипед. Указать те его вектор–диагонали, которые соответственно равны , , .
13. Доказать аналитически и графически равенства:
1) 2)
14. Даны векторы , . Вектор – медиана . Разложить аналитически и геометрически: 1) вектор по векторам и ; 2) вектор по векторам и .
15. На плоскости даны точки , и . В начале координат приложены силы , и . Построить равнодействующую , найти ее проекции на оси координат и величину. Выразить силы , , и через единичные векторы и координатных осей.
16.Даны точки и . Построить вектор и определить его длину и направление.
17. Даны три вершины параллелограмма АВСD точки, и . Доказать, что АВСD есть квадрат (различными способами).
18. На плоскости даны точки , и и построены векторы , и . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и .
19. Найти координаты точки через векторы , и параллелограмма ABCD, если ,, . Найти модули сторон и диагоналей параллелограмма. Найти координаты и модули векторов , .
20. Вектор составляет с осями и углы 60 и 120. Какой угол он составляет с осью ?
21. Даны три последовательные вершины параллелограмма и и . Найти его четвертую вершину .
22. На плоскости построить векторы , и . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и .
23. Дано , . Найти скалярное произведение векторов и (двумя способами).
24. Определить угол между векторами и .
25. Определить углы с вершинами , и .
26. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
27. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .
28. На плоскости дан треугольник с вершинами , и . Найти угол, образованный стороной и медианой этого треугольника.
29. Даны векторы и . Определить и .
30. Разложить векторы , и в базисе 1) , ; 2) ,и 3) , аналитически и графически, если , , .
31. Найти угол между сторонами и диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .
32. Найти координаты векторов и , если || .