Задачи для самостоятельной работы Элементы линейной алгебры
1. Вычислить определители второго порядка:
1)
2)
3)
4)
2. Решить неравенство:
1)
2)
3. Вычислить определители третьего порядка:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
4. Найти
из уравнений
1)
2)
И проверить подстановкой корней в определитель.
5. Решить системы методом Крамера:
1)
2)
6. Решить системы методом Крамера:
1)
2)
3)
4)
7. Решить системы методом Гаусса:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Векторная алгебра
8
.
По сторонам ОА
и ОВ
прямоугольника ОАСВ
отложены единичные векторы
и
.
Выразить через
и
векторы
,
,
,
,
и
,
если
и
(рис.
1).
9. Пусть на рис. 1
точка М –
середина ВС
и точка N
– середина АС.
Определить векторы
,
и
при
и
(рис.
1).
10. Даны векторы
,
.
Выразить векторы
,
,
,
,
,
,
через векторы
и
(рис. 2).
11. Даны векторы
,
,
.
Построить векторы
,
,
.
Каким диагоналям соответствуют
алгебраические суммы векторов (рис. 3).
12. На трех
некомпланарных векторах
,
и
(рис. 3) построен параллелепипед. Указать
те его вектор–диагонали, которые
соответственно равны
,
,
.
13. Доказать аналитически и графически равенства:
1)
2)
14. Даны векторы
,
.
Вектор
– медиана
.
Разложить аналитически и геометрически:
1) вектор
по векторам
и
;
2) вектор
по векторам
и
.
15. На плоскости
даны точки
,
и
.
В начале координат приложены силы
,
и
.
Построить равнодействующую
,
найти ее проекции на оси координат и
величину. Выразить силы
,
,
и
через единичные векторы
и
координатных осей.
16.Даны точки
и
.
Построить вектор
и определить его длину и направление.
17. Даны три вершины
параллелограмма АВСD
точки
,
и
.
Доказать, что АВСD
есть квадрат (различными способами).
18. На плоскости
даны точки
,
и
и построены векторы
,
и
.
Разложить геометрически и аналитически
вектор
по векторам
и
.
19. Найти координаты
точки
через векторы
,
и
параллелограмма
ABCD,
если
,
,
.
Найти модули сторон и диагоналей
параллелограмма. Найти координаты и
модули векторов
,
.
20. Вектор составляет
с осями
и
углы 60
и 120.
Какой угол он составляет с осью
?
21. Даны три
последовательные вершины параллелограмма
и
и
.
Найти его четвертую вершину
.
22. На плоскости
построить векторы
,
и
.
Разложить геометрически и аналитически
вектор
по векторам
и
.
23. Дано
,
.
Найти скалярное произведение векторов
и
(двумя способами).
24. Определить угол
между векторами
и
.
25. Определить углы
с вершинами
,
и
.
26. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
27. Найти угол между
диагоналями параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
28. На плоскости
дан треугольник с вершинами
,
и
.
Найти угол, образованный стороной
и медианой
этого треугольника.
29. Даны векторы
и
.
Определить
и
.
30. Разложить векторы
,
и
в базисе 1)
,
;
2)
,
и
3)
,
аналитически и графически, если
,
,
.
31. Найти угол между
сторонами и диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
32. Найти координаты
векторов
и
,
если
||
.