Рабочая тетрадь ТИ

ФАКУЛЬТЕТ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

РАНХиГС

____________________________________________________

«ТЕОРИЯ ИГР»

(Рабочая тетрадь)

Квалификация (степень)

Бакалавр экономики

К.ф.-м.н., доцент Чернова Мария Владимировна

Москва

2014

1

ФАКУЛЬТЕТ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

РАНХиГС

____________________________________________________

«ТЕОРИЯ ИГР»

(Рабочая тетрадь)

Квалификация (степень)

Бакалавр экономики

К.ф.-м.н., доцент Чернова Мария Владимировна

2

Москва

2014

Составитель: к.ф.-м.н., доцент Чернова М.В. Теория игр: рабочая тетрадь. - М.: Издательство « Дело» АНХ, 2014.

Рабочая тетрадь содержит основы теоретического материала по теории игр, примеры решения типовых задач, задания для решения в аудитории и задания для самостоятельной подготовки.

Использование рабочей тетради ставит целью организовать работу студента над теоретическим материалом, систематизировать его работу в аудитории и при самостоятельной подготовке к занятиям путем системного обеспечения и организации тренингов для приобретения навыков решения задач по основным разделам курса.

3

1.АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

1.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Вэкономике часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых взаимодействуют несколько участников, преследующих различные цели, иногда противоположные, и эффективность действия каждого участника зависит от действий других. Такие ситуации называют конфликтными ситуациями.

Теория игр представляет собой математический аппарат, используемый для анализа конфликтных ситуаций и принятия оптимальных решений.

Игра – математическая модель конфликтной ситуации.

Игроки – стороны, участвующие в ситуации, влияющие на действия и результаты других участников, имеющие интересы, не совпадающие с интересами других участников.

Ход – это выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление.

Стратегия – набор правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе игрока, в зависимости от ситуации, сложившейся в результате проведения игры.

Оптимальной стратегией называется стратегия игрока, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Конечная игра – игра, в которой каждый игрок имеет конечное число возможных стратегий.

Игра с нулевой суммой – игра, в которой сумма выигрышей всех игроков в каждой

еепартии равна нулю.

Антагонистической называется игра двух игроков с нулевой суммой (интересы противоположны).

Матричная игра – это конечная антагонистическая игра, представленная в виде матрицы.

1.2.МАТРИЧНАЯ ИГРА. ДОМИНИРУЮЩИЕ СТРАТЕГИИ

Вобщем виде матричная игра двух игроков А и В может быть записана в виде

платежной матрицы:

4

В платежной матрице строки соответствуют стратегиям Ai первого игрока, столбцы стратегиям B j второго игрока, а на пересечении строк и столбцов матрицы находятся

элементы aij , означающие выигрыши первого игрока и одновременно проигрыши

второго.

Каждая стратегия Ai или B j называется чистой стратегией соответствующего

игрока.

Обычно считается, что у первого игрока m стратегий (i = 1,2,..., m), а у второго игрока n стратегий ( j = 1,2,..., n). В этом случае платежная матрица имеет размер m × n .

Для формализации реальной конфликтной ситуации в виде матричной игры надо выделить и перенумеровать чистые стратегии каждого игрока и составить платежную матрицу.

Иногда платежную матрицу, перед тем как искать решение игры, удается уменьшить путем отбрасывания заранее невыгодных стратегий.

Если в платежной матрице все элементы строки Al = (al1, al 2 ,..., aln ) не меньше соответствующих элементов строки Ak = (ak1, ak 2 ,..., akn ), по крайней мере, один строго больше, то строка Al называется доминирующей, а строка Ak доминируемой.

Аналогично отношение доминирования определяется для столбцов.

Первому игроку невыгодно применять стратегии, которым соответствуют доминируемые строки, второму игроку невыгодно применять стратегии, которым соответствуют доминирующие столбцы. Таким образом, перед решением игры из платежной матрицы можно удалить доминируемые строки и доминирующие столбцы. Порядок удаления строк и столбцов значения не имеет.

матрице третья и четвертая строки доминируемые по отношению к первой строке.

3

отношению ко второму: . Отбрасываем доминируемую строку: (3).

0

Задания для решения в аудитории

Упростить платежные матрицы игр, вычеркнув заранее невыгодные стратегии.

5

1.3. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ

Решение матричных игр базируется на пессимистическом критерии оптимальности, основанном на том, что игроки будут стремиться максимально уменьшить платежи друг друга. Этот критерий оптимальности реализуется в поиске равновесия в осторожных стратегиях. Стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наилучший гарантированный результат при всевозможных стратегиях другого игрока.

Прежде всего, равновесной является ситуация, когда при вычеркивании доминируемых строк и доминирующих столбцов остается один элемент. В приведенном выше примере в результате такого вычеркивания остался один элемент, поэтому игроку A следует применять стратегию A1, а игроку B стратегию B4 . В этом случае говорят,

что игра имеет решение в чистых стратегиях.

Другой случай наличия решения в чистых стратегиях связан с наличием седловой точки.

Нижней ценой игры называется число α = max min aij (максимальный из i j

минимальных элементов каждой строки платежной матрицы). Нижняя цена игры показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе первый игрок, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях второго игрока.

Верхней ценой игры называется число β = min max aij (минимальный из j i

максимальных элементов каждого столбца платежной матрицы).

Верхняя цена игры показывает, каким числом второй игрок может ограничить выигрыш первого игрока применением своих стратегий.

Седловая точка – это пара чистых стратегий (Ai ; B j ) при которых достигается

равенство: α = β .

Ценой игры называется общее значение верхней и нижней цен игры: v = α = β . Поиск седловой точки и определение цены игры можно представить в виде

следующей схемы:

Решением игры в чистых стратегиях является седловая точка и соответствующая цена игры.

Если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то для другого игрока не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

В платежной матрице может быть несколько седловых точек, но все они имеют одинаковое значение.

Пример 2. Дана платежная матрица, которая определяет выигрыши игрока А.

Решение:

аудитории составит 55% и 45% соответственно, если обе компании демонстрируют спортивную программу, то доля аудитории составит 44% и 56%. Если A показывает спорт в то время, как B - новости, доля аудитории каждой компании 50%. Если A показывает новости, B - спортивные репортажи, доля аудитории составит 52% и 48%. Решить игру.

Решение: Составим платежную матрицу, элементами которой являются выигрыши компании A . Так как вся аудитория составляет 100%, то в качестве выигрышей компании A можно взять долю от всей аудитории, в зависимости от возможных решений компании

B .

аудитории, а компания B гарантированно потеряет не поле 52% аудитории. При выборе других стратегий возможен худший результат.

Пример 4. Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.

Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий.

В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 12, 8 и 4 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции.

Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (д.е.).

В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:

Y = 10 - 0,6 × X ,

где Y – количество продукции, которое приобретёт население региона (тыс. ден.ед.), а Y

– средняя цена продукции предприятий, ден.ед.

Значения долей продукции предприятия A , приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия A и предприятия B . В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены.

Доля продукции предприятия А, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

В задаче необходимо определить:

8

1.Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями?

2.Существуют ли технологии, которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?

3.Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какое предприятие окажется в выигрышном положении?

Решение: Одной из главных задач каждого предприятия является максимизация прибыли от реализации продукции. Но в данном случае более важной проблемой является конкурентная борьба. В конкурентном конфликте выигрыш будет определяться не размером прибыли каждого предприятия, а разностью их прибылей. При таком подходе конфликт можно рассматривать как матричную игру двух игроков с нулевой суммой, так как выигрыш одного предприятия равен проигрышу другого.

Формализуем конфликтную ситуацию – составим платежную матрицу. Для этого определим стратегии каждого игрока:

A1 – предприятие A выбирает технологию 1

A2 – предприятие A выбирает технологию 2

A3 – предприятие A выбирает технологию 3

B1– предприятие B выбирает технологию 1

B2 – предприятие B выбирает технологию 2

B3 – предприятие B выбирает технологию 3

Элементами платежной матрицы будет разность прибыли предприятия A и предприятия B . Найдем a11 (выбраны стратегии A1 и B1 – оба предприятия реализуют

продукцию по 12 ден.ед.)

Доход и затраты зависят от количества купленной населением продукции, которое

1. Проверим наличие ситуации равновесия – седловой точки. Для это найдем

Это означает, что предприятиям необходимо использовать свои третьи технологии и минимальные цены реализации.

2. Определим наличие заведомо невыгодных стратегий у предприятий.

Так как элементы третьей строки больше соответствующих элементов первой строки и второй строки, то стратегии A1 и A2 – заведомо невыгодные, так как предприятие A стремится максимизировать разницу прибылей. Эти стратегии можно исключить:

соответствующих элементов первого и второго столбцов, значит стратегии B1 и B2 – заведомо невыгодные (доминируемые). Их тоже тожно исключить:

предмет инвестирования, причем инвестиционный договор она может заключить только с одним из инициаторов проектов. Задача компании B - положительный результат переговоров с каким-либо из инициаторов проектов.

Компания A ставит своей задачей свести переговоры компании B к отрицательному результату, с тем, чтобы занять место компании B в инвестировании.

Компания A для достижения своей цели может применить одно из двух средств: A1 - предложить инициаторам проектов более выгодные условия по сравнению с компанией B ; A2 - предоставить материалы, компрометирующие компанию B .

Действие A1 компании A приводит к отрицательному результату переговоров компании B с инициаторами проектов B1, B2 , B3 соответственно с вероятностями

0,7 , 0,5 , 0,3 , а действие A2 - с вероятностями 0,6 , 0,9 , 0,4 .

10