Рабочая тетрадь ТИ

Смоделировать данную ситуацию, применяя в качестве модели антагонистическую игру и найти ее решение в чистых стратегиях.

2. Для отопления коттеджа в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 7,5 ден. ед., в мягкую зиму – 8,5 ден. ед., в обычную – 9 ден. ед., а в холодную – 9,5 ден. ед. Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы: в мягкую зиму достаточно 6 т., в обычную – 7 т., холодную – 8 т. Затраты домовладельца зависят от количества угля, запасенного им летом. При необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой, однако продать невостребованный уголь возможности не будет. Представить ситуацию в виде игры и предложить оптимальное решение по закупке угля для домовладельца с точки зрения минимизации затрат на приобретение угля на год.

3. Фермер решает засеять участок земли кукурузой. Опыт других фермеров показывает, что при благоприятных условиях с 1 тонны кукурузных зерен в период сбора урожая собирается 20 тонн, при удовлетворительных – 10 тонн, а при плохих климатических условиях можно получить тоже количество кукурузы, которое было посажено. Перед фермером стоит задача определить, сколько надо купить и посадить тонн кукурузы – две, четыре или шесть, чтобы иметь гарантированный доход.

11

Задания для самостоятельной подготовки

1. Предположим, что Вы хотите вложить на фондовой бирже 10 тыс. руб. в акции компаний A и B . Вероятность повышения (понижения котировок) не прогнозируется. Прибыль от инвестиции за один год приведена в таблице.

Как бы Вы вложили деньги?

2.В зависимости от характера зимы потребление мазута на теплоэлектростанции составляет 7, 8 и 9 тонн. Отпускная цена мазута осенью – 4 ден. ед. за 1 тонну.

Если заготовленного мазута окажется недостаточно, то придется закупить недостающее количество мазута по отпускной цене. Если запас превысит потребность, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ден. ед. за 1 тонну мазута.

Представьте ситуацию в виде игры и предложите оптимальное решение по закупке мазута.

3.Капитан рыболовного судна выбирает район лова. Районы A и B стабильно

обеспечивают 30% и 40% плана соответственно. Район C - район рискованного промысла, где улов может составлять 100% или 10%.

Формализуйте ситуацию в виде матричной игры и решите ее.

4. Две компании, занимающиеся производством антивирусного программного обеспечения, практически полностью делят рынок некоторого региона. Разрабатывая новую версию программного продукта для мобильных телефонов, каждая из компаний может использовать один из четырех вариантов продвижения нового программного продукта на рынок, который влияет на конечную стоимость продукции.

В зависимости от сделанного выбора компании могут установить цену реализации единицы продукции на уровне 25, 22, 19 и 16 условных единиц соответственно. Соотношение цен реализации и себестоимость представлены в таблице:

В результате маркетингового исследования рынка была определена функция спроса на программные продукты:

Y = 20 - 0,5 × X ,

12

где Y – количество продукции, которое будет реализовано в регионе (тыс. ед.), а X – средняя цена продукции компаний, ден. ед.

1.Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе варианта продвижения продукта на рынок обоими компаниями?

2.Существуют ли варианты, которые компании заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?

3.Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какая компания получит больше прибыль в ситуации равновесия? Какая компания будет иметь большую долю рынка в ситуации равновесия? Дайте краткую экономическую интерпретацию результатов решения задачи.

1.4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ 2х2

Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок А не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии.

Этот результат достигается путем применения чистых стратегий случайно, с определенной вероятностью.

Смешанной стратегией игрока называется вектор X = ( p1, p2 ,..., pm ),

координатами которого являются вероятности (относительные частоты) использования игроком своих чистых стратегий. Так как события, заключающиеся в выборе игроком своих чистых стратегий, образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1, то есть: p1 + p2 + ... + pm = 1 .

13

(больше не проиграет).

Задания для решения в аудитории

1. Частный предприниматель с целью получения прибыли решил свободные средства вложить в ценные бумаги двух видов: A1 и A2 . На рынке ценных бумаг может сложиться две ситуации: C1 и C2 . Прогноз доходности ценных бумаг в зависимости от рыночных ситуаций, который дают экономисты, представлен в таблице:

Найти оптимальную стратегию предпринимателя, которая обеспечила бы ему наибольшую прибыль.

2. Швейная фабрика выпускает брюки и шорты, сбыт которых зависит от состояния погоды. Затраты фабрики на единицу продукции составили: брюки – 15 ден.ед., шорты – 10 ден.ед. Цена реализации: брюки – 21 ден. ед., шорты – 14 ден.ед. Фабрика может реализовать при теплой погоде 120 брюк и 300 шорт, а при прохладной погоде: 370 брюк и 100 шорт. Представьте ситуацию в виде игры и определите оптимальный план производства, обеспечивающий гарантированную прибыль, не зависимо от погоды.

3. К туристу A подходит незнакомец B и предлагает сыграть в игру « Орел – решка». Если у A « орел», а у B « решка», A получит 30 ден.ед.; если у A « решка», а у B « орел», то всего 10 ден.ед. Если выборы совпадут, то A заплатит ему 20 ден.ед. Честная ли игра? Как будет влиять на решение количество партий в игре? Если A принимает игру, какую стратегию ему выбрать? Рассмотреть два варианта игры: выбор стратегий определяется игроками; выбор стратегий определяется случайно (по броску монеты).

16

4. Вас пригласили на телевизионную игру « Колесо фортуны». Колесо управляется двумя электронными кнопками. При нажатии первой кнопки колесо вращается быстро, при нажатии второй – медленно. Само колесо разделено на два равных сектора: белый и красный. Выигрыши, которые Вы получаете за игру, зависят от того, какой сектор остановится напротив стрелки:

Вам предоставляется возможность сыграть семь раз. Как Вы будете играть? Формализуйте ситуацию в виде игры и решите ее.

Задания для самостоятельной подготовки

17

1. Молочный комбинат планирует выпуск двух видов новой продукции: питьевой биойогурт и сливочный пудинг. Спрос на эти продукты не определен, но можно предположить, что он принимает одно из двух состояний: хороший и удовлетворительный. В зависимости от этих состояний прибыль комбината различна и

Найти оптимальное соотношение между объемами выпуска каждого из продуктов, при котором комбинату гарантирована средняя прибыль при любом состоянии спроса.

2. Нападающий готовится пробить серию из 10 ударов по воротам, вратарь готовится к их защите. Нападающий может ударить в правый или левый угол ворот; вратарь пытаясь угадать направление удара, готовится к прыжку влево или вправо от

вратарь готовится к прыжку влево, то в среднем в воротах будет 7 мячей из десяти; если же вратарь готовился к прыжку вправо, то в воротах будут все десять мячей из десяти.

Для нападающего найдите стратегию, обеспечивающую максимальное гарантированное число забитых мячей независимо от тактики вратаря; а для вратаря – минимальное гарантированное число пропущенных мячей независимо от тактики нападающего.

3. Швейное предприятие шьет два вида изделий: шапки из меха и фуражки из ткани. Сбыт зависит от состояния погоды осенью. По данным наблюдений прошлых лет, в условиях теплой осени предприятие может реализовать 200 шапок и 800 фуражек, а при холодной 300 шапок и 270 фуражек. Известно, что затраты на пошив шапок и фуражек соответственно составили 120 и 20 рублей. Цена реализации одной шапки 210, фуражки

– 30 рублей.

Определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде гарантированную среднюю прибыль.

4. Администрация и сотрудники предприятия совместно разработали несколько различных вариантов оплаты труда в зависимости от видов работы и социальных льгот по каждому виду работы. Эти варианты представлены в таблице (руб./ч.):

Предложите компромиссный вариант вида выполняемых работ и предоставляемых социальных льгот. Какова величина оплаты труда при таком варианте?

1.5. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ 2хn

Пусть платежная матрица игры 2хn имеет вид:

У игрока A - две стратегии, у игрока B - n стратегий. Задача такой размерности может быть решена в два этапа:

18

1.Графически для игрока A (игрок с двумя стратегиями).

2.Аналитически для игрока B (игрок с множеством стратегий). Алгоритм решения рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти решение игры заданной матрицей:

Из определения смешанной стратегии следует, что игрок A придерживающийся своей оптимальной смешанной стратегии, выигрывает не менее ν при любых стратегиях игрока B .

- x + 6x ³ν

1 2

Разделим все уравнения и неравенства данной системы на ν и введем обозначения

задача линейного программирования (*).

В случае двух переменных ее можно решить графическим методом. Для этого надо выполнить следующее:

1. Заменить все неравенства системы (*) равенствами и построить полученные прямые на графике.

19

2.Каждая прямая делит плоскость на две части, одна из которых является решением соответствующего неравенства системы. Чтобы определить полуплоскость решения для каждой прямой следует взять точку, не лежащую на ней и подставить в соответствующее неравенство.

3.В результате построения прямых по системе (*) и определения полуплоскостей решения будет получена область допустимых решений (рис.).

показывает направление возрастания целевой функции.

5. Двигаясь по области допустимых решений в направлении, противоположном направлению вектора нормали можно найти минимальное значение целевой функции. На

рисунке минимальное значение целевой функции будет достигнуто в точке X * .

активным стратегиям, остальные стратегии являются пассивными.

Далее для игрока B решаем задачу 2х2 со стратегиями B3 и B4 , исключив пассивные стратегии.

20