§4. Построение кривых, заданных параметрически

Рассмотрим способы построения кривых, заданных системой уравнений вида ,.

В ряде случаев эту систему можно решить, получив уравнение, связывающее переменные и. Например, система

,

, дает уравнение . Учитывая, что множеством значений,, является отрезок, получаем, что исходная система уравнений задаёт функцию, определенную на отрезке. Из курса аналитической геометрии также известно, что уравнения,задают окружность радиуса, а также уравнения,, задают эллипс с полуосямии.

Если явно выразить черезне удается, то используется схема, которую мы дадим на примере построения кривой, заданной системой уравнений,.

Начнем с построения графика функции . Эта функция непрерывна на всей числовой прямой,,. Первое из этих утверждений очевидное, второе следует из того, что. Далее, прифункциястремится к 0 (применяется правило Лопиталя), а функциястремится кпри.

Производная . Привыполнено неравенствои, поэтомуубывает. При, поэтомуи функция возрастает. Наименьшего значения функциядостигает при,. При этом и.

График имеет вид:

Каждому значению соответствуют два значения, обозначим ихи, причем,.

Так как функция непрерывна и убывает при, функциятакже непрерывна и возрастает при, а так какнепрерывна и возрастает при,также непрерывна и возрастает (мы использовали теорему об обратной функции).

Следовательно, по теореме о непрерывности сложной функции и- также непрерывные.

Исследуем асимптотическое поведение функций ипри. Прифункцияи, так как,, а. Так как

,

функция не имеет наклонной асимптоты.

При функцияи функция, при этом. Наконец,

.

Поэтому прямая является наклонной асимптотой для.

Вычислим производные функций и. Обе они получаются по формуле. Приполучаем, что, поэтому, как, так и- возрастающие функции.

В точке обе функциииимеют первую производную, равную.

Наконец, вторая производная равна .

Поэтому при получаем, криваявыгнута вверх, а при, криваявыгнута вниз.

Комментарий к графику: идают «клюв» - имеют особую правую касательную с тангенсом угла наклона вравным 4.

§5. Построение кривых, заданных уравнением в полярных координатах.

Рассмотрим задачу построения на плоскости , введенной прямоугольной декартовой системой координат, кривой, уравнение которой имеет вид. При этом мы считаем, что начало координат совпадает с полюсом полярной системы координат и что ось абсцисс совпадает с полярной осью. В этом случае для декартовых координат точки, имеющей полярные координаты, выполняются равенства,и уравнениеравносильно системе.

Поэтому задание кривой полярным уравнением можно рассматривать, как частный случай задания кривой системой параметрических уравнений.

Рассмотрим несколько примеров.

Уравнение или, т.е. задает прямую линию на плоскости.

Построим кардиоиду, заданную уравнением ,.

Так как функция периодическая, с периодом , рассматриваем. Так как функция чётная, достаточно построить кривую, а затем отразить ее симметрично полярной оси, т.е. оси абсцисс. При, меняющейся отдо, величинаубывает от значениядо. Поэтому эскиз части кривой приимеет примерный вид:

Эскиз всей кривой получаем отражением относительно полярной оси.

Осталось ответить на два естественных вопроса. Первый из них: чему равна абсцисса точки ? Второй вопрос – о выпуклости кривой. Для получения ответов на эти вопросы рассмотрим параметрические уравнения части кардиоиды:,.

,

.

Из уравнения при, находим,, откуда,. Этим значениям соответствуют(при),(при), абсцисс 0.

(при ) - абсцисса точки.

Таким образом, на вопрос об абсциссе точки получим ответ.

Производная .

Отметим, что в точках ,кривая имеет вертикальную касательную.

Вторая производная равна .

На промежутке эта величина меньше 0, на промежутке- больше 0.

Поэтому верхняя половина кардиоиды состоит из выгнутой вверх кривой, соединяющей точки ии выгнутой вниз кривой, соединяющей точкии.