§3. Графики основных элементарных функций

Элементарной называется функция, которая может быть представлена в виде композиции нескольких основных элементарных функций и арифметических операций над ними. К основным элементарным функциям относятся степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Именно эти функции используются в математических моделях.

3.1. Степенная функция

Область определения и свойства этой функции зависят от числа .

При график функцииимеет вид:

Если , то по определению,, если. В точкеэта функция неопределена. Напомним, что символиспользуется для обозначения так называемой неопределенности. График функцииимеет вид:

При всех функцияопределена по крайней мере на множестве(при некоторыхестественной областью определения является вся числовая прямая, см. ниже).

Эта функция непрерывна на всех области определения, . Так какдля всех, функция возрастает на области определения. Множеством ее значений является множество.

Вторая производная равна .

Ее величина больше 0 для всех , еслии меньше 0 для всех, если. В первом случае график выгнут вниз, во втором – вверх.

Вернемся к вопросу о естественной области определения. Если - натуральное число, либо– рациональное число, которое можно представить несократимой дробью, знаменатель которой- нечетное число, то естественной областью определения функцииявляется все множество ℝ. При этом, если- четное число, то- четная функция, ее график симметричен относительно осии в случаеимеет вид

При этом в точке функция имеет минимуми всюду выгнута вниз.

В случае график имеет вид

Функция имеет точку минимума в которой производной не существует и- вертикальная касательная к графику.

Если – нечетное натуральное число, либо, где– нечетные натуральные числа, то функция– нечетная, ее график симметричен относительно начала координат и приимеет вид

Функция возрастает на всей прямой, выгнута вверх при , выгнута вниз при, в точкеимеется перегиб. Множество ее значений совпадает с ℝ.

При график имеет вид

Функция также возрастает на всей прямой и множеством ее значений является ℝ. Однако она выгнута вниз при и выгнута вверх при. В точкеимеется перегиб, хотя функцияне дифференцируема в этой точке и ее график в точкеимеет вертикальную касательную.

Если , то функцияопределена, по крайней мере на множестве(при некоторыхестественной областью определения является множество).

Эта функция непрерывна на области определения, ., поэтому график имеет горизонтальную асимптотуи вертикальную асимптоту.

Производная для всех, поэтому функция убывает. Вторая производнаядля всех, поэтому график выгнут вниз. Ее график имеет вид

Снова рассмотрим вопрос о естественной области определения. Если – отрицательное целое число или рациональное число, где- натуральные числа, причем- нечетное число, то областью определения функцииявляется множество. При этом, если- четное число, либо, где- четное число, то функция- четная.

График функции в этом случае имеет вид

Функция возрастает при , убывает при. График всюду выгнут вниз. Имеются горизонтальная асимптотаи вертикальная асимптота.

Множеством значений является .

Если - нечетное число, либо, где- нечетные натуральные числа, то- нечетная функция, и ее график имеет вид

Она убывает на всей области определения, множество ее значений: множество . Кроме того, функция выгнута вверх при, выгнута вниз при.