§1.Схема построения графиков

Имеется несколько способов задавать зависимость между переменными и . Чаще всего используется явное выражение. Можно считатьифункциями от параметра:. Можно задать эту зависимость в виде уравнения. В последнем случае говорят о неявно заданной функции.

Графическое изображение функциональной зависимости позволяет наглядно представить свойства изучаемой функции.

Опишем схему построения графика функции, заданного явным уравнением . Напомним, что график этой функции представляет собой множество точек на плоскости, координаты которыхсвязаны равенством.

При исследовании функции следует начинать с нахождения области определения этой функции. Обычно, когда ставится задача построить график функции , рассматривается естественная область определения, т.е. множество чисел, при которых определено выражение. В ряде случаев рассматривается часть области определения, обозначим эту часть. Тогда мы говорим об ограничении функциина множество.

Ограничения функции на различные подмножестваимогут обладать разными свойствами. Например, ограничение функциина множество– убывающая функция, а ограничение– возрастающая функция.

После нахождения области определения функции, исследуем её на непрерывность и выясняем её асимптотическое поведение при стремлении к бесконечно удалённым точкам, или к граничным точкам области определения.

Некоторые функции обладают специфическими свойствами. Напомним, что функция называетсячётной, если она определена на симметричном относительно точки множествеи если для любоговыполняется равенство. График чётной функции симметричен относительно оси.Нечётной называется функция , если она определена на симметричном относительно точкимножествеи если для любогоимеет место равенство. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Функция называетсяпериодической, если существует число такое, что для любого– области определения функциичислатакже принадлежати.

Далее вычисляем производную и исследуем её знак. На множестве, где, функциявозрастает, на множествах, где, функцияубывает. Экстремумы функция может иметь в тех точках, где либо, либоне существует. Нахождение наибольшего или наименьшего значений функции, если они есть, позволяет установить множествозначений, принимаемых функцией.

Исследование знака второй производной позволяет установить промежутки, на которых график функции выпукл вверх, или выпукл вниз, а также точки перегиба.

§2.Преобразования графиков

Пусть определена на множестве , возрастает на(или убывает на) и пусть– множество значений этой функции. Тогда для любогосуществует единственное значениетакое, что. Этообозначим так:. Обратной дляфункцией назовём функцию. Для всехвыполнено равенство. Для всехвыполнено равенство. Например дляимеем:,. Поэтому для всехи для всех.

График обратной функции симметричен графику функции относительно биссектрисы координатного угла.

Термины “сложная функция”, или “композиция функций” (а также “суперпозиция функций”) относятся к способу представления функции. Если, например, иопределена на множестве значений, принимаемых функцией, то говорят, что– сложная функция, или композиция этих функций.

Особенно часто рассматриваются сложные функции вида .

Так как , точкиграфика, для которых, одновременно являются и точками графика. Те точкиграфика, для которых, при построении графиказаменяются точками, т.е. точками симметричными относительно оси.

При построении графика функции сохраняем точкиграфика функциидля которых, а потомсоответствуют значения, т.е. графикполучается симметричным относительно осиотражением графика ограничения на множествофункции.

Перейдём к построению графиков вида и начнём с рассмотрения важных частных случаев.

График функции получается из графика функциисдвигом на числопо оси:

График функции получается из графика функциисдвигом на числопо оси

График функции получается из графикаумножением координатына число

График получается из графикаприсжатием вдоль осивраз, еслии растяжением враз, если.

Если же , то для построения графикаследует построить графиксогласно указанному выше правилу, затем отразить полученный график симметрично относительно оси.

Для получения графика функции следует представить её в видеи последовательно использовать приведённые выше правила.