6. Целевая функция, градиент

Целевая функция - функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную, т.е. найти max или min) с управляемыми переменными в задаче.

Это функция, минимум или максимум которой требуется найти.

Целевая функция: F (x)= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max(min)

Градиент функции – вектор, координаты которого равны частным производным первого порядка

Градиент линейной функции f (x1,x2) = c1x1+c2x2 равен вектору коэффициентов функции. С = (c1, C2)

Градиент функции в точке определяет направление наискорейшего возрастания функции в этой точке.

7. Двойственная задача и ее свойства

Двойственная задача - это вспомогательная задача ЛП, формулируемая с помощью опред-ых правил непосредственно из условий исходной (прямой) задачи.

F (x)= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max;

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2,

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm;

xj ≥ 0

g (y)= b1y1 + b2y2 + ... + bmym → min;

a11y1 + a21y2 + ... + am1ym ≥ c1,

a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ c2,

a1ny1 + a2ny2 + ... + amny ≥ cn;

yi ≥ 0

Если в исходной задаче ищется маx целевой функции, то в двойственной ей - мин.

В исходной ЗЛП все функциональные ограничения - неравенства вида “≤”, а в задаче, двойственной ей, - неравенства вида “≥”.

Коэффициенты при переменных в системах ограничений взаимно двойственных задач описываются матрицами, транс-ми относительно друг друга.

Условие неотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.

Переменных у двойственной задачи сколько ограничений у исходной задачи

Ограничений у двойственной задачи столько, сколько переменных.

8. Первая теорема двойственности и ее следствия

Теорема. Двойственные задачи одновременно разрешимы или не разрешимы и в случае их разрешимости оптимальные значения целевых функций совпадают.

Следствие 1. Если исходная задача является задачей в канонической форме и ее оптимальная симплекс таблица известна, то оптимальное решение двойственной задачи есть (,) =

Следствие 2. Если исходная задача является задачей в стандартной форме и ее оптимальная симплекс таблица известна, то оптимальное решение двойственной задачи есть =

94. Экономическая интерпретация двойственной задачи.

F =

i = 1,2…m

j = 1,2…n

n- число технологий произведенной продукции

–цена одной ед. продукта, произведенной по j технологии

F = – прибыль

А – технологическая матрица

–кол – во ресурса вида i необходимого для производства продукта j технологии

- кол-во ресурса вида i использующегося в производстве

–запас ресурса вида i.

10. Транспортная задача, математическая модель и ее свойства.

Транспортная задача — задача о поиске оптимального распределения поставок однородного товара от поставщиков к потребителям при известных затратах на перевозку (тарифах) между пунктами отправления и назначения

Число пунктов производства – m

i= 1,2…m – количество продукта, произведенного на i пункте.

Количество пунктов потребителя – n

j = 1,2…n – потребность j пункта потребления.

- цена перевозки ед. продукции из i пункта в j.

Классическая постановка задачи

Требуется организовать перевозку продукции из пункта производства в пункт потребления так, чтобы весь товар из пунктов производства был вывезен, удовлетворяя потребность пунктов потребления и минимизировать стоимость перевозки

Математическая модель задачи:

- кол-во ед. продукта, перевозимого с i пункта производства в j пункт.

Кол – во продукта, вывезенного с i пункта произв.:

i = 1,2..m

Кол-во ед. продукта:

j = 1,2..n

Критерий – суммарные затраты:

F =

Свойства транспортной задачи:

Транспортная задача разрешима тогда, когда выполняемы условия баланса:

- закрытая тр. Зад.

Ранг матрицы ограничений тр. Зад. = m+n-1.