9.1.3. Открытые и замкнутые множества в пространстве

Свойства открытых и замкнутых множеств в описывают следующие теоремы.

Теорема 9.1. Дополнение к открытому множеству представляет собой замкнутое множество, а дополнение к замкнутому множествупредставляет собой открытое множество.

► Пусть - открытое множество этого пространства и пусть точка предельная точка его дополнения . Требуется доказать, что .Если это не так,т.е. , то и, следовательно, . Тогда, вопреки тому, что точка предельная точка .

Обратно, пусть - замкнутое множество и пусть - его дополнение. Пусть точка . Требуется доказать, что .Из условия следует, что и, следовательно,не предельная точка . Поэтому . Это означает, что и, значит, , так как .◄

Замечание. Всё пространствои пустое множество являются одновременно как открытыми, так и замкнутыми множествами.

Теорема 9.2.

1. Для любой системы открытых множеств их объединениетакже открытое множество.

2. Для конечной системы открытых множеств их пересечениетакже открытое множество.

3. Для любой системы замкнутых множеств их пересечение

также замкнутое множество.

4. Для конечной системы замкнутых множеств их объединениетакже замкнутое множество.

►Пусть. Тогда, при некотором точка и, так как все - открытые множества, некоторая окрестность также входит в , а следовательно,.Первое утверждение доказано.Рассмотрим теперь . Для любогосуществует числотакое, что. Положим. Тогдаи, поэтому,. Второе утверждение доказано.Для доказательства третьего и четвёртого утверждений достаточно применить законы де Моргана:

,

доказанные первое и второе утверждение и теорему 9.1.◄

Замечание. Бесконечное пересечение открытых множеств может оказаться замкнутым множеством. Например, если ,то . В этом легко убедиться так: точки отрезка, разумеется, входят в пересечение всех интервалов.Пусть . Если выбрать числотак, чтобы выполнялось неравенство(что выполняется при), тои. Аналогично проверяется, что если, то.

Бесконечное объединение замкнутых множеств может оказаться открытым множеством. Например, если , то. В данном случае очевидно, что никакое числои никакое числоне принадлежат, так как не входят ни в одно из множеств. Осталось доказать, что для любого числасуществует номертакой, что. Для этого достаточно, чтобы одновременно выполнялись неравенства, что будет верно, если.

9.1.4. Компактные множества в пространстве

Определение. Множество называетсякомпактным, если из любой бесконечной системы открытых множеств такой, чтоможно выбрать конечное числотак, что.

Иными словами, из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Это – общее определение компактного множества, использующееся не только в пространстве. В пространствекомпактные множества можно описать более наглядным способом.

Теорема 9.3. компактно тогда и только тогда, когда оно ограниченное (т.е. содержится в некотором шаре с центром в начале координат) и замкнутое (без доказательства).

Иногда утверждение этой теоремы принимают за определение компактного множества в .

По этой теореме, например, замкнутый шар в с центром в точкеи радиуса , представляющий собой множество точек, удовлетворяющих условию и замкнутый параллелепипед, представляющий собой множество точек, удовлетворяющих системе двойных неравенств , являются компактными множествами.